Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.6. Propagazione degli errori
Esempio
Esempio 3.6.1 Sia x = 0.1103 e y = 0.009963. Se consideriamo un sistema decimale a 4 cifre,
normalizzando i numeri, abbiamo x = 1.103 · 10 −1 e y = 9.963 · 10 −3
Facendo la sottrazione di questi due numeri, abbiamo 1.103 · 10 −1 − 9.963 · 10 −3 = 0.1103 − 0.009963 =
0.100337. Facendo l’arrotondamento a 4 cifre abbiamo il valore 1.0034 · 10 −1 .
|0.100337 − 0.10034|
L’errore relativo che commettiamo è: ≈ 2.99 × 10 −5 . Questo errore è minore della
0.100337
precisione di macchina (considerata la base 10 e le 4 cifre) 1 2 · 10−3 .
Tuttavia, se non teniamo conto delle cifre significative ma tronchiamo i numeri alle prime 4 cifre,
abbiamo la sottrazione di 0.1103 − 0.0099 = 0.1004.
|0.100337 − 0.1004|
Questa volta l’errore relativo è ≈ .63 × 10 −3 . L’errore è maggiore della precisione di
0.100337
macchina.
Esempio
Esempio 3.6.2 Sia da risolvere l’equazione ax 2 + bx + c = 0 con a = 1, b = −56 e c = 1, quindi x 2 − 56x +
1 = 0, in una macchina a 4 cifre decimali (normalizzata).
Applicando la formula x 1/2 = −b ± b 2 − 4ac
abbiamo x 1/2 = 28 ± 783 = 28 ± 27.98213716 =
{ 2a
0.01786284073
. L’arrotondamento delle due radici in virgola mobile normalizzata a 4 cifre decimali
55.98213716
dà: x 1 = 1.7863 · 10 −2 e x 2 = 5.5982 · 10 1 .
Consideriamo ora la macchina a 4 cifre decimali per risolvere l’equazione:
x 1 = 28 − 783 = 2.8 · 10 1 − 2.7982 · 10 1 = 0.0018 · 10 1 = 0.018 = 1.8 · 10 −2
x 2 = 28 + 783 = 2.8 · 10 1 + 2.7982 · 10 1 = 5.5982 · 10 1
La radice x 2 è arrotondata correttamente, mentre la variabile x 1 no, per effetto della cancellazione.
Per ricavare x 1 con l’arrotondamento corretto, applichiamo la formula x 1 x 2 = c/a, che, nel nostro caso,
vale x 1 x 2 = 1 da cui x 1 = 1/x 2 = 1/(5.5982 · 10 1 ) = 1.7863 · 10 −2 . Abbiamo fatto un’operazione che non
risente del fenomeno di cancellazione numerica!
Esempio
Esempio 3.6.3 Vediamo come non valga più la relazione (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .
Sia a = 15.6 e b = 15.7 e la macchina sia a 3 cifre decimali (questa volta lavoriamo su una macchina non
normalizzata, per cui scriveremo la parte frazionaria come 0.qual cosa. Ripetere poi l’esempio lavorando
su una macchina a 2 cifre decimali normalizzata e su una macchina a 3 cifre decimali normalizzata.
Cosa si osserva)
(a − b) = (a − b) ∗ + e a−b . Abbiamo (a − b) ∗ = 15.6 − 15.7 = −0.1.
Quindi (a − b) 2 = +0.01 = 0.1 · 10 −1 .
Consideriamo ora a 2 − 2ab + b 2 = 243.36 − 489.84 + 246.49 = 0.24336 · 10 3 − 0.48984 · 10 3 + 0.24649 · 10 3
Considerando la macchina a 3 cifre decimali, abbiamo: 0.243 · 10 3 − 0.490 · 10 3 + 0.246 · 10 3 = −0.1 · 10 1
I risultati sono completamente diversi!
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