Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE
Se scriviamo il numero in virgola mobile normalizzata, le cifre significative sono date dalle cifre della
parte frazionaria. La bontà delle cifre va diminuendo procedendo da sinistra verso destra e questo può portare
ad una perdita di cifre significative, come possiamo vedere studiando la propagazione degli errori nelle
operazioni elementari.
Supponiamo che i numeri su cui lavoriamo siano affetti da errore (di arrotondamento), mentre le operazioni
siano eseguite in modo esatto. Indichiamo con il simbolo o una qualunque delle operazioni elementari
{×,/,+,−} e indichiamo con f l(x) il numero x rappresentato in floating point e arrotondato, quindi
f l(x) = x(1 + e x ) dove e x è l’errore di arrotondamento.
Allora f l(x o y) = f l(x)o f l (y) = x(1 + e x )o y(1 + e y ).
G Moltiplicazione 3 x(1 + e x ) × y(1 + e y ) = (x × y)(1 + e x )(1 + e y ) ≈ (x × y)(1 + e x + e y )
Quindi l’errore nel prodotto è dato da e x y = e x + e y
G Divisione (con y ≠ 0) 4 x(1 + e x )
y(1 + e y ) = x y (1 + e x)(1 − e y + e 2 y + ...) ≈ x y (1 + e x − e y )
Si ha e x/y = e x − e y : gli errori si accumulano additivamente
G Addizione (e, analogamente, Sottrazione)
L’errore è e x+y =
x(1 + e x ) + y(1 + e y ) = x + y + xe x + ye y = (x + y)(1 + x
x + y e x +
y
x + y e y )
x
x + y e x +
y
x + y e y , una combinazione lineare che dipende da x e y.
– x y > 0 =⇒ |e x+y | ≤ |e x | + |e y |
– x y < 0 =⇒ |x|
|x + y| e |y|
possono essere molto grandi e, in tal caso, ci sarà un’amplificazione
|x + y|
notevole dell’errore. Si ha il fenomeno di cancellazione se non si fa attenzione al numero di cifre
significative dei numeri che vengono sommati.
Sulla cancellazione
Supponiamo di avere due numeri molto vicini tra loro, in cui le prime p + 2 cifre della parte frazionaria
sono buone mentre le altre sono corrotte. Inoltre, le prime p cifre siano le stesse per entrambi i numeri
(usiamo i simboli v v v v v e w w w w w w per esprimere le cifre corrotte):
f l(x) = 1.d −1 d −2 ...d −p b −(p+1) b −(p+2) v v v v × 2 e
f l(y) = 1.d −1 d −2 ...d −p b ′ −(p+1) b′ −(p+2) w w w w × 2e
Quando andiamo a fare la sottrazione le prime p cifre buone si annullano. Da p + 2 cifre buone, ne abbiamo
ora solo 2 e tutte le altre sono quelle corrotte. Con la normalizzazione il risultato diventa del tipo (ora qqqqq
sono le cifre corrotte):
f l(x − y) = 1.b −1 ′′ b′′ −2qqqqqq × 2e
Ricordiamo, infine, che in aritmetica di macchina non valgono più la proprietà distributiva o associativa
del prodotto.
3 Nei calcoli sono trascurabili le potenze maggiori o uguali a due per e x e e y
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Possiamo scrivere = (1 − e y + e 2 y
1 + e + ...) come risultato della formula polinomiale di Taylor della funzione f (e 1
y ) = di
y 1 + e y
centro 0.
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