Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.6. Propagazione degli errori
Per lasciare maggiore generalità al discorso, consideriamo una base N .
Sia x = ±( ∑ ∞
k=0 x −k N −k )N p il numero esatto (può avere infinite cifre decimali e lo rappresentiamo come
somma di infiniti termini).
In floating-point esso sarà espresso come x ∗ = ±( ∑ t−1
k=0 x∗ −k N −k )N p∗ , esso, cioè, sarà arrotondato (non
possiamo avere infinite cifre decimali e, difatti, la somma considera solo t termini).
Ci sono due modi per arrotondare un numero
G troncamento: x ∗ = tr onc(x), dove p ∗ = p e x ∗ −k = x −k per k = 0,..., t − 1. Le altre cifre, x −t , x −t−1 ,...
sono ignorate.
G arrotondamento simmetrico: x ∗ = ar r (x) = tr onc(x + 1 2 N −t+1 N p ), aggiungiamo un’unità a x −t+1 se
x −t ≥ N /2.
L’errore assoluto |x − x ∗ | che si commette approssimando il numero x con x ∗ sarà 2
⎧
⎨N N p nel troncamento
|x − x ∗ | ≤ 1
⎩
2 N 1−t N p nell’arrotondamento
Per l’errore relativo |x − x∗ |
, invece, si ha:
|x|
⎧
|x − x ∗ |
⎨N 1−t nel troncamento
≤ 1
|x| ⎩
2 N 1−t nell’arrotondamento
Il valore 1 2 N 1−t è il numero conosciuto come precisione di macchina.
Nel caso della rappresentazione IEEE di un numero, si ha t−1 = n, (ricordiamo che nella rappresentazione
IEEE si memorizza il numero normalizzato), da cui l’errore di arrotondamento relativo che si commette è
|x − x ∗ |
≤ 2 −(n+1) .
|x|
In singola precisione (n = 23), avremo
Esempio
|x − x ∗ |
≤ 2 −24 ≈ 5.96 × 10 −8
|x|
ciò significa che avremo 8 cifre decimali corrette.
In doppia precisione (n = 52) avremo
|x − x ∗ |
≤ 2 −53 ≈ 1.11 × 10 −16
|x|
ciò significa che avremo 16 cifre decimali corrette.
3.6 Propagazione degli errori
Prima di vedere come si propagano gli errori nelle operazioni elementari di moltiplicazione, divisione,
addizione e sottrazione, vediamo il concetto di cifre significative.
Le cifre significative sono quelle che danno un’informazione effettiva sul valore del numero,
indipendentemente dalla parte esponenziale.
2 Evitiamo di effettuare tutti i passaggi che portano alle formule dell’errore assoluto e relativo, che sono il risultato di maggiorazioni
di serie geometriche.
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