Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE
Esempio
Esempio 3.4.1 Vogliamo scrivere il numero 5.75 10 in formato IEEE in singola precisione.
Effettuiamo prima la conversione in base 2:
Per la parte intera:
Per la parte decimale:
1 0 1 x 2 .0 × 2 = 0.0
5 2 1 x 0
.75 × 2 = 1.50 x −1 = 1
2 1 0 x 1
.5 × 2 = 1.0 x −2 = 1
Quindi 5.75 10 = 101.11 2 = 1.0111 × 2 2 .
Memorizziamo ora il numero in singola precisione:
Per l’esponente, essendo p = 2, si ha:
(b + p) 10 = (127 + 2) 10 = 129 10 = 10000001 2
Per la mantissa, m = 23 e si deve trascurare l’1 della normalizzazione, quindi memorizzeremo le cifre
0111 e poi avremo tutti 0.
0 1 1 1 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Il segno è positivo, quindi s = 0
Perciò la memorizzazione, considerati i bits per il segno, l’esponente e la mantissa è:
0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 ... 0 0 0 0 0
}{{}
s
} {{ }
esponente
} {{ }
manti ssa
Consideriamo, ora, la rappresentazione dei numeri speciali.
Per convenzione si pone uguale a 0 la rappresentazione che vede tutti zero sia nel segno, sia nell’esponente
che nella mantissa (non dimentichiamo che il valore 1 della normalizzazione non è messo in memoria
ma c’è e quindi non potremmo mai avere il valore 0, perciò lo si pone per convenzione).
Per i valori ±∞ si considerano tutti 1 nello spazio dedicato all’esponente, tutti 0 nello spazio dedicato alla
mantissa e 0 o 1 per il segno, a seconda che sia + o −∞.
0 / 1 1 1 1 ... 1 1 0 0 0 ... 0 0
}{{}
s
} {{ }
esponente
} {{ }
mantissa
I valori ±∞ si hanno se si fa una divisione per zero o si fa un calcolo che comporta overflow.
Si ha invece il Not-a-Number (NaN) come risultato di operazioni non definite, come 0/0 o log0.
A seconda della macchina si ha:
NaNS, che produce un segnale di errore
0 1 1 1 ... 1 1 0 1 1 ... 1 1
}{{}
s
} {{ }
esponente
} {{ }
mantissa
NaNQ, con il quale il calcolo continua comunque...
0 1 1 1 ... 1 1 1 0 0 ... 0 0
}{{}
s
3.5 Precisione numerica
} {{ }
esponente
} {{ }
mantissa
Un numero può avere una rappresentazione finita o infinita. Basti pensare al valore di π o a 2 in base 10.
Abbiamo anche visto che un numero può avere rappresentazione finita in una base ma infinita in un’altra.
Quando rappresentiamo un numero al calcolatore è possibile memorizzare solo un certo numero di cifre:
in che modo lo esprimiamo
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