Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - UniversitÃ degli ...

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3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE Un numero in floating point nella rappresentazione IEEE viene scritto come x = ±(1 + f −1 2 −1 + f −2 2 −2 + ... + f −n 2 −n ) × 2 e dove G 1+ f −1 2 −1 + f −2 2 −2 +...+ f −n 2 −n è la mantissa, normalizzata, cui sono riservati un numero n di bits, G e è la potenza della base 2 cui sono riservati un numero Ne di bits ed è limitato a variare in un determinato intervallo [L,U ]. Il primo 1 della mantissa (che corrisponde a f 0 ) non viene messo in memoria ma c’è. La rappresentazione in virgola mobile può essere schematizzata nel modo seguente (s, e ed f rappresentano i bits riservati rispettivamente per il segno della mantissa, e per le cifre dell’esponente e della mantissa – ogni celletta può avere il valore 0 o 1): s e e e e e ··· ··· e f f f f f ··· ··· f }{{} segno } {{ } cifre dell’esponente } {{ } cifre della mantissa Abbiamo 1 bit riservato al segno (si ha 0 per il segno + e 1 per il segno −), un numero Ne di bits per l’esponente 2 e , e un numero n di bits per la mantissa. La scelta del numero di bits da riservare all’esponente e alla mantissa si basa su un compromesso tra la dimensione dell’esponente (e quindi il più piccolo e il più grande numero rappresentabile) e la dimensione della mantissa (e quindi la precisione del numero rappresantibile, più o meno cifre decimali). Nel sistema IEEE, la rappresentazione in singola precisione è a 32 bits mentre quella in doppia precisione è a 64 bits. La suddivisione dei bits tra esponente e mantissa viene ripartita nel modo seguente: s Ne n # totale bits Singola precisione 1 8 23 32 Doppia precisione 1 11 52 64 Gli esponenti possono essere sia positivi sia negativi ma si preferisce memorizzarli come interi positivi (senza segno). Abbiamo dunque bisogno di una tecnica che permetta di rappresentare esponenti negativi come interi positivi. La tecnica utilizzata nello standard IEEE è chiamata di biasing (distorsione): un numero positivo (detto bias) viene aggiunto all’esponente (sia esso positivo o negativo) in modo che il risultato finale sia sempre positivo. Ed è questo valore che viene memorizzato per rappresentare l’esponente. L’esponente viene quindi rappresentato in forma biased (parziale, influenzata da un altro numero): se e è l’esponente effettivo, noi memorizziamo il valore b + e dove b è il bias dato b = 0111...1 } {{ } , vale a dire b = 1 + 2 + 2 2 + ... + Ne bits 2 Ne−2 +0·2 Ne−1 = 1 − 2Ne−1 = 2 Ne−1 −1 (si veda la nota per capire perchè si ha questo risultato nella somma). 1 − 2 Per trovare il limite superiore e inferiore entro cui può variare e, dobbiamo tener conto del fatto che, nella rappresentazione IEEE, due patterns di bits sono riservati per rappresentare numeri speciali quali lo zero, infinito e il Not-a-Number, precisamente 0000...0 e 1111...1. Quindi, b + e non può essere uguale nè a 0000...0, nè a 1111...1. Ciò significa che il massimo esponente che si può rappresentare è dato sottraendo a 1111...1 il valore 1 in base 2, cioè da 1111...1 − 0000...01 = 1111...10. Si ha b + e ≤ 1111...10, o equivalentemente, 0111...1 + e ≤ 1111...10, da cui ricaviamo e ≤ 1111...10 − 0111...1 = 0111...1 = b . Il limite superiore U è proprio uguale a b. 24
3.4. Rappresentazione IEEE dei numeri di macchina Per il limite inferiore abbiamo: 0000...0 diseguaglianza in senso stretto (
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Bibliografia [1] ASCHER, U. M. e GR
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