Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3. RAPPRESENTAZIONE DEI NUMERI NEL CALCOLATORE
Un numero in floating point nella rappresentazione IEEE viene scritto come
x = ±(1 + f −1 2 −1 + f −2 2 −2 + ... + f −n 2 −n ) × 2 e
dove
G 1+ f −1 2 −1 + f −2 2 −2 +...+ f −n 2 −n è la mantissa, normalizzata, cui sono riservati
un numero n di bits,
G e è la potenza della base 2 cui sono riservati un numero Ne di bits ed è
limitato a variare in un determinato intervallo [L,U ].
Il primo 1 della mantissa (che corrisponde a f 0 ) non viene messo in memoria ma c’è. La rappresentazione
in virgola mobile può essere schematizzata nel modo seguente (s, e ed f rappresentano i bits riservati rispettivamente
per il segno della mantissa, e per le cifre dell’esponente e della mantissa – ogni celletta può avere
il valore 0 o 1):
s e e e e e ··· ··· e f f f f f ··· ··· f
}{{}
segno
} {{ }
cifre dell’esponente
} {{ }
cifre della mantissa
Abbiamo 1 bit riservato al segno (si ha 0 per il segno + e 1 per il segno −), un numero Ne di bits per
l’esponente 2 e , e un numero n di bits per la mantissa.
La scelta del numero di bits da riservare all’esponente e alla mantissa si basa su un compromesso tra la
dimensione dell’esponente (e quindi il più piccolo e il più grande numero rappresentabile) e la dimensione
della mantissa (e quindi la precisione del numero rappresantibile, più o meno cifre decimali).
Nel sistema IEEE, la rappresentazione in singola precisione è a 32 bits mentre quella in doppia precisione
è a 64 bits. La suddivisione dei bits tra esponente e mantissa viene ripartita nel modo seguente:
s Ne n # totale bits
Singola precisione 1 8 23 32
Doppia precisione 1 11 52 64
Gli esponenti possono essere sia positivi sia negativi ma si preferisce memorizzarli come interi positivi
(senza segno). Abbiamo dunque bisogno di una tecnica che permetta di rappresentare esponenti negativi
come interi positivi. La tecnica utilizzata nello standard IEEE è chiamata di biasing (distorsione): un numero
positivo (detto bias) viene aggiunto all’esponente (sia esso positivo o negativo) in modo che il risultato finale
sia sempre positivo. Ed è questo valore che viene memorizzato per rappresentare l’esponente. L’esponente
viene quindi rappresentato in forma biased (parziale, influenzata da un altro numero): se e è l’esponente
effettivo, noi memorizziamo il valore b + e dove b è il bias dato b = 0111...1
} {{ }
, vale a dire b = 1 + 2 + 2 2 + ... +
Ne bits
2 Ne−2 +0·2 Ne−1 = 1 − 2Ne−1
= 2 Ne−1 −1 (si veda la nota per capire perchè si ha questo risultato nella somma).
1 − 2
Per trovare il limite superiore e inferiore entro cui può variare e, dobbiamo tener conto del fatto che, nella
rappresentazione IEEE, due patterns di bits sono riservati per rappresentare numeri speciali quali lo zero,
infinito e il Not-a-Number, precisamente 0000...0 e 1111...1.
Quindi, b + e non può essere uguale nè a 0000...0, nè a 1111...1. Ciò significa che il massimo esponente
che si può rappresentare è dato sottraendo a 1111...1 il valore 1 in base 2, cioè da 1111...1 − 0000...01 =
1111...10.
Si ha b + e ≤ 1111...10, o equivalentemente, 0111...1 + e ≤ 1111...10, da cui ricaviamo
e ≤ 1111...10 − 0111...1 = 0111...1 = b
.
Il limite superiore U è proprio uguale a b.
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