Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.4. Rappresentazione IEEE dei numeri di macchina
Esempio
Esempio 3.3.3 Scriviamo il numero 11 , che è 1.1 in base 10, nella base 2.
10
Per la parte intera:
Per la parte decimale:
: 2 = quoziente resto
.1 × 2 = 0.2 x
1 0 1 x −1 = 0
0
.2 × 2 = 0.4 x −2 = 0
.4 × 2 = 0.8 x −3 = 0
.8 × 2 = 1.6 x −3 = 1
.6 × 2 = 1.2 x −4 = 1
.2 × 2 = 0.4 x −5 = 0
.4 × 2 = 0.8 x −6 = 0
.8 × 2 = 1.6 x −7 = 1
.6 × 2 = 1.2 x −8 = 1
.2 × 2 = 0.4 x −9 = 0
Osserviamo che nella parte decimale si ripetono all’infinito le cifre 0011. Il numero in base 2 si scrive
quindi come: 1.00011
} {{ } 0011 } {{ } ...
3.4 Rappresentazione IEEE dei numeri di macchina
Lo sviluppo dei calcolatori ha promosso e sviluppato l’uso del sistema binario, in cui ciascun numero è
rappresentato da una successione di cifre binarie (0 e 1). Ma come avviene la rappresentazione di un numero
nel calcolatore Come rappresentare un numero a infinite cifre in maniera accurata utilizzando solo un
numero finito di cifre
Lo standard IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), oggi utilizzato dalla maggior parte dei
calcolatori, è dato dalla rappresentazione in virgola mobile (floating point). Esiste anche un tipo di rappresentazione
in virgola fissa (fixed point), ma in genere è preferita quella in floating point, e noi ci soffermeremo
solo su questa.
Riprendiamo l’esempio proposto in Sezione 3.2, dove abbiamo scritto 1 in base 10 come
3
(
1
0
3 = 0.3333333... = 10 0 + 3
10 1 + 3
10 2 + 3
10 3 + 3 )
10 4 ... × 10 0
Questo è un esempio di numero scritto in virgola mobile: un qualunque numero x, in base 10, si può
scrivere sotto la forma x = f 10 e dove f rappresenta la mantissa del numero e e è l’esponente (intero) della
base con cui stiamo rappresentando il numero stesso, che dà informazioni sulla parte intera del numero.
Ci sono diverse rappresentazioni in virgola mobile, tutte equivalenti tra loro. Per esempio 12.5 = 1.25 ×
10 1 = 0.125×10 2 = 0.000125×10 5 . Si parla di virgola mobile normalizzata quando la mantissa ha una singola
cifra di valore diverso da zero a sinistra della virgola, quindi, in base 2, la mantissa è del tipo 1.qual cosa.
La rappresentazione in virgola mobile normalizzata in base 2 è quella utilizzata nello standard IEEE: i
numeri si possono scrivere nella forma x = f 2 e . Al calcolatore, tuttavia, non possiamo rappresentare numeri
con una mantissa a infinite cifre, perciò f = ±1.f −1 f −2 ... f −n e e = ±e Ne−1 e Ne−2 ...e 0 ., dove f −1 , f −2 ,..., f −n ,
e e Ne−1 ,e Ne−2 ,...,e 0 sono le cifre che caratterizzano rispettivamente la mantissa e l’esponente del numero
in virgola mobile normalizzata in base 2, e quindi possono valere 1 o 0. Abbiamo n cifre per la mantissa (in
realtà sono n + 1 ma poichè la rappresentazione è normalizzata f 0 = 1) e Ne per l’esponente. Nel sistema
binario, le cifre vengono chiamate bits ( binary digits): quindi n bits sono riservati per la mantissa, Ne per
l’esponente.
23