Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

3.2. Aritmetica di macchina
Figura 3.3: La Mars Climate Orbiter
unità metriche!
Si era ipotizzato di entrare nell’atmosfera di Marte ad una altezza
di circa 150 km mentre il veicolo spaziale entrò ad una altezza
di circa 60 km. Per un errore di conversione delle unità di
misura, il velivolo entrò nell’atmosfera con una traiettoria inferiore
rispetto a quella pianificata. La velocità del mezzo era molto
elevata e portò alla distruzione non solo del veicolo spaziale ma
anche della stessa Polar Lander.
Diversi furono i motivi che portarono al fallimento di questa
missione. Il principale è dovuto all’errore nel trasferimento di informazioni
tra il team che lavorava sul veicolo spaziale, che si trovava
in Colorado e il team della missione di navigazione, che lavorava
in California. Un team usava le unità inglesi (inches, feet,
pounds) mentre l’altro usava le unità metriche. L’errore fu nella
mancata conversione delle unità di misura tra unità inglesi e
3.2 Aritmetica di macchina
Un qualunque numero reale può essere rappresentato accuratamente da una sequenza di infinite cifre
decimali.
Ad esempio:
(
1
0
3 = 0.3333333... = 10 0 + 3
10 1 + 3
10 2 + 3
10 3 + 3 )
10 4 ... × 10 0
( 3
π = 3.14159265358979... =
10 0 + 1
10 1 + 4
10 2 + 1
10 3 + 5 )
10 4 ... × 10 0
Osserviamo che abbiamo scritto 1/3 e π in base 10, usando, quindi, le cifre 0,1,2,...,9 per poterli
rappresentare.
In genere, un numero reale x può essere rappresentato in base N come
x = x m N m + x m−1 N m−1 + ... + x 1 N + x 0 + x −1 N −1 + x −2 N −2 + ... x −n N −n
} {{ }
parte intera
} {{ }
parte frazionaria
dove m e n sono interi naturali e x k , k = m,m − 1,...,−n sono interi naturali compresi tra 0 e N − 1.
In base 10, il numero 726.625, scritto in forma estesa è dato dalla forma:
Esempio
7 × 10 2 + 2 × 10 1 + 6 + 6 × 10 −1 + 2 × 10 −2 + 5 × 10 −3
Tuttavia, i calcolatori hanno una memoria finita per poter rappresentare i numeri. Ciò significa che solo
una sequenza finita di cifre possono essere usate. Inoltre, i calcolatori lavorano in base binaria, quindi ogni
numero può essere rappresentato mediante una sequenza di 0 e 1.
Avendo in mente questi due fattori, possiamo ora capire la rappresentazione dei numeri al calcolatore,
per cui ad ogni numero reale x è associato il numero di macchina denotato come f l(x), in rappresentazione
floating point – virgola mobile.
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