Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 3
Rappresentazione dei numeri nel
calcolatore
Tutti noi ogni giorno usiamo la
matematica: per prevedere il tempo,
per dire l’ora, per contare il denaro.
Usiamo la matematica anche per
analizzare i crimini, comprendere
gli schemi, prevedere i
comportamenti. Usando i numeri,
possiamo svelare i più grandi
misteri della vita!
NUMB3RS
3.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Aritmetica di macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Conversione di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Rappresentazione IEEE dei numeri di macchina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.5 Precisione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.6 Propagazione degli errori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Instabilità e malcondizionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7.1 Instabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.7.2 Malcondizionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1 Introduzione
Molte volte, si pensa che i risultati numerici ottenuti da un calcolatore elettronico, specie se sono ottenuti
come output di un sofisticato software, non contengano errori e, se ne abbiano, siano da ritenersi trascurabili.
In realtà, quando si esegue un programma al calcolatore, bisogna prima di tutto aver verificato che sia stato
scritto correttamente (il programma deve, cioè, tradurre correttamente il problema matematico che si vuole
risolvere). Inoltre, bisogna tener conto che i risultati numerici sono sempre affetti da un certo tipo di errore,
che può essere, per esempio, di arrotondamento o di troncamento: π è un numero con infinite cifre decimali
ma il calcolatore lo può vedere solo come un numero con finite cifre decimali..., molte formule non possono
essere usate così come sono ma devono essere in qualche modo semplificate (basti pensare ad una somma di
infiniti termini). Non tenere conto di questi fattori può portare a risultati davvero disastrosi, come può essere
verificato andando a controllare la pagina web dedicata ai disastri dovuti a uno scorretto calcolo numerico:
http://www.ima.umn.edu/~arnold/disasters/disasters.html
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