Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

2.5. Teoremi utili
Ma per ipotesi |g ′ (c)| ≤ m < 1 da cui
|ξ − η| ≤ m|ξ − η| < |ξ − η|
Si arriva ad una contraddizione. L’assurdo deriva dall’aver supposto ξ ≠ η. Quindi ξ = η e il punto fisso è
unico. ✔
Teorema 2.5.6 (Teorema del Valor Medio del Calcolo Integrale) Se f ∈ C ([a,b]) e g è integrabile in [a,b] e
g (x) non cambia segno in [a,b], allora esiste un punto ξ ∈]a,b[ tale che
∫ b
a
f (x)g (x) d x = f (ξ)
∫ b
a
g (x) d x
Per g ≡ 1, questo teorema ci dà il valore medio della funzione f sull’intervallo [a,b], dato da f (ξ) =
1 ∫ b
a
b − a
f (x) d x
Teorema 2.5.7 (Teorema di Rolle generalizzato) Sia f ∈ C ([a,b]) n volte differenziabile in ]a,b[. Se f si annulla
in n +1 punti distinti x 0 , x 1 ,..., x n in ]a,b[, allora esiste un punto ξ ∈]a,b[ in cui la derivata n-sima della
f si annulla: f (n) (ξ) = 0.
Teorema 2.5.8 (Formula di Taylor) 1
Sia f ∈ C 2 ([a,b]) e sia x 0 un punto dell’intervallo [a,b]. Allora, per qualunque x ∈ [a,b] si può scrivere:
f (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0) 2
f ′′ (ξ x )
2
dove ξ x è un opportuno punto di [a,b] che si trova sul segmento individuato da x 0 e x.
La formula appena scritta si dice formula di Taylor di centro x 0 nel punto x.
La formula di Taylor appena scritta si può generalizzare se la funzione f è derivabile n +1 volte. Si ha così
la formula polinomiale di Taylor di centro x 0 :
dove
f (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + f ′′ (x 0 )
2!
(x − x 0 ) 2 + ... + f (n) (x 0 )
(x − x 0 ) n + R n
n!
R n (x) = f (n+1) (ξ x )
(x − x 0 ) n+1
(n + 1)!
con ξ x un opportuno punto di [a,b] che si trova sul segmento individuato da x 0 e x.
1 Brook Taylor (1685 - 1731) fu un matematico inglese che sviluppò quello che oggi è chiamato calcolo delle differenze finite.
L’importanza del suo lavoro e, soprattutto, della formula conosciuta oggi con il suo nome, venne riconosciuta solo nel 1772 da Lagrange.
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