Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

2.5. Teoremi utili
f
f f ′ f f ′
1
ln(x)
e x
e x
x
sin(x) cos(x) cos(x) −sin(x)
1
tan(x)
cos 2 (x) (= 1
sec2 (x)) cot(x) −
sin 2 (x)
1
1
1
1
tan(x)
−cot(x)
cos(x)
cos(x)
sin(x)
sin(x)
1
1
arcsin(x) arccos(x) −
1 − x
2
1 − x
2
1
arctan(x)
1 + x 2 arccot(x) − 1
1 + x 2
x r x r +1
∫
f d x f
∫
f d x
r + 1 (r ≠ 1) x−1 ln|x|
e x e x ln|x| x ln|x| − x
sin(x) −cos(x) cos(x) sin(x)
tan(x)
1
ln| |
cos(x)
cot(x) ln|sin(x)|
1
cos(x)
1
ln|
cos(x) + tan(x)| 1
sin(x)
1
ln|
sin(x) + cot(x)|
1
cos 2 (x)
tan(x)
1
sin 2 (x)
−cot(x)
tan(x)
cos(x)
1
cos(x)
cot(x)
sin(x)
− 1
sin(x)
arcsin(x) x arcsin(x) + 1 − x 2 arccos(x) x arccos(x) − 1 − x 2
arctan(x) x arctan(x) − 1 2 ln(1 + x2 ) arccot(x) xarccot(x) − 1 2 ln(1 + x2 )
1
1 − x
2
2.5 Teoremi utili
arcsin(x)
1
1 + x 2 arctan(x)
Richiamiamo, nel seguito, teoremi che trovano applicazione nel Calcolo Numerico. Per alcuni diamo
anche la dimostrazione.
Utilizzeremo, inoltre, le seguenti notazioni per funzioni di una sola variabile definite in un insieme X ⊂ R.
L’insieme delle funzioni continue in X verrà denotato con il simbolo C (X ). L’insieme delle funzioni continue
in X , che hanno le prime n derivate pure esse continue, sarà indicato con C n (X ).
Notazioni
usate per le
funzioni
continue
Teorema 2.5.1 (Teorema di Rolle) a
Sia f ∈ C ([a,b]) e differenziabile in ]a,b[.
Se f (a) = f (b) = 0, allora esiste un punto ξ ∈]a,b[
tale che f ′ (ξ) = 0
a Michel Rolle (1652- 1719) fu un matematico francese. È
conosciuto per il teorema che porta il suo nome. Si deve a lui
la notazione della radice n-sima per mezzo del simbolo n x.
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