Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

12. PRIMI PASSI IN MATLAB®
for
end
end
end
k =2: j
table ( j , k)= ( table ( j , k−1) − table ( j −1,k−1) ) / . . .
( x ( j ) − x ( j−k+1) ) ;
La diagonale principale della matrice table ha i coefficienti a 0 , a 1 , ... a n del polinomio di interpolazione.
Il polinomio è dunque:
p(x) = a 0 + a 1 (x − x 0 ) + a 2 (x − x 0 )(x − x 1 ) + ... + a n (x − x 0 )(x − x 1 )···(x − x n−1 )
Per valutarlo in un punto x eseguiamo i seguenti passaggi, applicando, in tal modo, l’algoritmo di Horner:
p = a n
p = p(x − x n−1 ) + a n−1
= a n (x − x n−1 ) + a n−1
p = p(x − x n−2 ) + a n−2
.
= a n (x − x n−1 )(x − x n−2 ) + a n−1 (x − x n−2 ) + a n−2
p = p(x − x 0 ) + a 0
= a n (x − x n−1 )(x − x n−2 )...(x − x 1 )(x − x 0 ) + ... + a 1 (x − x 1 )(x − x 0 ) + a 0
= a 0 + a 1 (x − x 0 )(x − x 1 ) + ... + a n (x − x 0 )(x − x 1 )...(x − x n−2 )(x − x n−1 )
La function da scrivere è dunque:
function yval= i n t e r p d i v d i f ( xval , x , table )
% function yval= i n t e r p d i v d i f ( xval , x , table )
% x − a s c i s s e dei dati da interpolare
% table − t a b e l l a d e l l e d i f f e r e n z e divise ,
% ottenuta dalla function d i v d i f ;
% servono i v a l o r i della diagonale principale
% xval − s c a l a r e o v e t t o r e in cui c a l c o l a r e i l polinomio
% i n t e r p o l a t o r e
% yval − valore ( o v a l o r i ) del polinomio i n t e r p o l a t o r e
% valutato in xval
% nel calcolo del polinomio i n t e r p o l a t o r e s i applica
% l ’ algoritmo di Horner
xval=xval ( : ) ;
x=x ( : ) ;
n=length ( x ) −1;
yval=table (n+1 ,n+1)* ones ( length ( xval ) , 1 ) ;
for j =n: −1:1
yval=yval . * ( xval−x ( j ) ) + table ( j , j ) ;
end
Le functions appena descritte possono essere usate in maniera del tutto equivalenti per risolvere il problema
dell’interpolazione. Ci sono però dei casi in cui i risultati ottenuti dalla polyfit e dalla interpmonom
non sono corretti in quanto la matrice di Vandermonde ad esse legate è malcondizionata.
Abbiamo già descritto gli effetti del malcondizionamento nell’interpolazione. Quando applichiamo la
function polyfit ai dati di quel problema, si ha il seguente messaggio di avvertimento (un warning):
>> poli=polyfit(x,y,5)
Warning: Polynomial is badly conditioned. Add points with distinct X
values, reduce the degree of the polynomial, or try
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