Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

12.9. Applicazioni di MATLAB® nel Calcolo Numerico
% E s e r c i z i o sull ’ i n s t a b i l i t a ’ numerica
% calcolo dell ’ i n t e g r a l e y_n= int_0^1 x^n / ( x+10) dx
%
% y i n s t : v e t t o r e con i v a l o r i dell ’ algoritmo i n s t a b i l e
% y s t : v e t t o r e con i v a l o r i dell ’ algoritmo s t a b i l e
%
% algoritmo i n s t a b i l e
%
y inst (1)= log (11) −log ( 1 0 ) ; %corrisponde al valore i n i z i a l e
for i =1:30
y inst ( i +1)= 1/ i −10* y inst ( i ) ;
end
%
% algoritmo s t a b i l e
% s i r i c hiede che i l valore dell ’ i n t e g r a l e y_n1 s i a approssimato
% con una accuratezza data dal valore di input t o l
n1= input (’ indice n1’ ) ;
t o l =input (’ tolleranza tol’ ) ;
k= −log10 ( t o l ) + n1 ;
k= f i x ( k + 1 ) ; % f i x e ’ una function che e f f e t t u a l ’ arrotondamento
% del numero in modo da avere un valore intero
yst ( k ) = 0 ;
for j =k−1:−1:1
yst ( j ) =1/10*(1/ j − yst ( j + 1 ) ) ;
end
Uno volta eseuito lo script, nella Command Window si hanno i due vettori che possono essere confrontati
tra loro. Il valore iniziale y 0 si avrà nella prima componente dei vettori che vengono creati. Perciò si faccia
attenzione agli indici utilizzati (per yst si usa j e j+1: perchè).
Volendo, si può modificare lo script facendo uso della function di MATLAB® single che converte il
risultato in singola precisione in modo da confrontare i due algoritmi con i calcoli in singola precisione.
% y i n s t s i n g : v e t t o r e dell ’ algoritmo i n s t a b i l e lavorando
% in singola precisione
% y s t s i n g : v e t t o r e dell ’ algoritmo s t a b i l e lavorando
% in singola precisione
yinstsing (1)= single ( log ( 1 1 ) ) −single ( log ( 1 0 ) ) ;
for i =1:30
yinstsing ( i +1)= single (1/ i ) −single (10* yinstsing ( i ) ) ;
end
n1= input (’ indice n1’ ) ;
t o l =input (’ tolleranza tol’ ) ;
k= −log10 ( t o l ) + n1 ;
k= f i x ( k + 1 ) ;
ystsing ( k ) = 0 ;
for j =k−1:−1:1
ystsing ( j ) = single (1/10)* single (1/ j − ystsing ( j + 1 ) ) ;
end
Come si può osservare dalle Figure 12.4 e 12.5, i risultati ottenuti dall’algoritmo instabile cambiano a seconda
che si usi o meno la function single mentre abbiamo gli stessi risultati (consideriamo le cifre corrette in
singola precisione, usando il formato format short e) per l’algoritmo stabile.
12.9.2 Sull’interpolazione e approssimazione di dati
In MATLAB® esistono già delle function che permettono di interpolare e approssimare delle serie di dati.
C’è la function polyfit che, dati i vettori contenenti le ascisse e le ordinate da interpolare o approssimare,
di dimensione n, e il grado m del polinomio che si vuole creare, fornisce in output il vettore contenente i
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