Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11.10. Esercizi
Figura 11.3: Confronto dei metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson sull’equazione test y ′ = −y,
prendendo come h il valore h = 2 (a sinistra) e h = 0.5 (a destra).
Esempio
Esempio 11.9.2 Consideriamo il metodo di Eulero esplicito e applichiamolo all’equazione test.
Sappiamo che y i+1 = y i + hλy i .
Per la soluzione esatta, sappiamo che vale y(t i+1 ) = y(t i )+hλy(t i )+hd i (con d i l’errore di troncamento
locale).
Sottraendo la prima equazione dalla seconda abbiamo
ɛ i+1 = ɛ i + hλɛ i + hd i
Considerato che d i = h 2 y′′ (ξ i ) e che, per studiare la stabilità, h è fissato mentre i tende a +∞, il termine
hd i non influisce sull’andamento dell’errore e possiamo trascurarlo. Si ha allora la relazione:
ɛ i+1 = ɛ i + hλɛ i
Ricaviamo ɛ i = ɛ 0 (1 + hλ) i .
Il ragionamento da fare è lo stesso che abbiamo fatto in precedenza e troviamo gli stessi risultati.
Dobbiamo infatti verificare quando ɛ i tende a zero per i che tende a +∞. . .
11.10 Esercizi
Esercizio 11.10.1 Studiare la stabilità del metodo di Eulero esplicito applicato all’equazione differenziale
y ′ = −2y + 1, con y(0) = 1 (soluzione esatta y(t) = e−2t + 1
)
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Svolgimento
Per provare la stabilità del metodo dobbiamo verificare che l’errore iniziale si mantiene limitato per valori
crescenti del tempo.
Il metodo di Eulero esplicito applicato all’ODE del problema diventa
y i+1 = y i + h(−2y i + 1) = (1 − 2h)y i + h
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