Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11. DIFFERENZIAZIONE NUMERICA ED EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE
Per verificare che il metodo converge studiamo il limite
lim
h→0
i→+∞
⎡
( ) 2 − hλ i ( ) 1 ⎤
⎢ 2 − hλ
= ⎣
h ⎥
⎦
2 + hλ 2 + hλ
i h
y i . Partiamo dalla relazione
⎡
( ) 1 ⎤t
⎢ 2 − hλ
= ⎣
h ⎥
⎦
2 + hλ
Ma
( 2 − hλ
2 + hλ
) 1 1 2 − hλ
ln(
h = e h 2 + hλ )
Nel fare il limite per h → 0 e i → +∞ della quantità che si trova all’esponente, applichiamo l’Hôpital e
ricordiamo che la derivata di 2 − hλ −λ(2 + hλ) − (2 − hλ)λ
vale
2 + hλ (2 + hλ) 2 = −4λ
(2 + hλ) 2 :
Quindi
lim
h→0
i→+∞
lim
h→0
i→+∞
ln( 2 − hλ
2 + hλ )
h
y i = lim
La convergenza è provata.
h→0
i→+∞
= lim
h→0
i→+∞
( 2 − hλ
y 0
2 + hλ
2 + hλ −4λ
2 − hλ (2 + hλ) 2 = lim −4λ
h→0 (2 + hλ)(2 − hλ) = −λ
) i
= lim
h→0
i→+∞
i→+∞
⎡
( ) 1 ⎤
⎢ 2 − hλ
y 0 ⎣
h ⎥
⎦
2 + hλ
i h
= y 0 e −tλ = y(t)
11.9.6 Stabilità di Crank-Nicolson
( ) 2 − λh i
Per la stabilità, si vede che la soluzione numerica è y i = y 0 . Per i → +∞, qualunque sia il valore
2 + λh
( ) 2 − λh i
di h, la soluzione tende a zero in quanto lim i→+∞ = 0. Il metodo è incondizionatamente stabile.
2 + λh
11.9.7 Sulla stabilità
La stabilità di questi metodi la si può verificare anche considerando direttamente l’errore ɛ i , dimostrando
che gli errori al passo i e al passo i +1 verificano la stessa relazione che hanno y i+1 e y i e mostrando che l’errore
rimane limitato sotto condizione per Eulero esplicito mentre è incondizionatamente stabile per gli altri
metodi. In Figura 11.3 si vede come il metodo di Eulero esplicito sia stabile sotto condizione mentre i metodi
di Eulero implicito e Crank-Nicolson sono stabili qualunque passo di discretizzazione venga utilizzato.
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