Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11.9. Convergenza e stabilità
y(t) = y 0 e −λt e tende a zero per valori di t crescenti. Vogliamo che tenda a zero anche la soluzione numerica
(in modo da mantenere limitato l’errore). La soluzione numerica (fissato h e per i grande, cioè per valori di t
crescente) tende a zero se |1 − hλ| < 1 cioè per −1 < 1 − hλ < 1 ⇐⇒ 0 < hλ < 2 ⇐⇒ h < 2 λ .
Il metodo di Eulero esplicito è stabile sotto condizione.
11.9.3 Convergenza di Eulero implicito
Il metodo di Eulero implicito applicato all’equazione test diventa:
Quindi
y 0
y 1 =
(1 + hλ)
y 1
y 2 =
(1 + hλ) = y 0
(1 + hλ) 2
y 2
y 3 =
(1 + hλ) = y 0
(1 + hλ) 3
.
y i =
y i−1
(1 + hλ) = y 0
(1 + hλ) i
y i+1 =
y i
(1 + hλ)
In tal caso
lim
h→0
i→+∞
y i = lim
h→0
i→+∞
y 0
(1 + hλ) i = lim
h→0
i→+∞
⎡
1
⎤
y 0 (1 + hλ) −i = y 0
⎣(1 + hλ) h ⎦
(i passaggi sono del tutto simili a quelli visti per Eulero esplicito).
Abbiamo provato la convergenza.
−i h
= y 0 e −tλ = y(t)
11.9.4 Stabilità di Eulero implicito
y 0
Per la stabilità, dalla soluzionei numerica y i = , si osserva che, per i → +∞, qualunque sia il valore
di h, la soluzione tende a zero in quanto lim i→+∞ = 0 Si parla di metodo incondizionatamente
(1 + λh)
i
1
(1 + λh)
i
stabile.
11.9.5 Convergenza di Crank-Nicolson
Il metodo di Crank-Nicolson applicato all’equazione test diventa: y i+1 = y i + hλ
2 [−y i − y i+1 ] da cui
( ) 2 − hλ
y i+1 = y i
2 + hλ
Andando a ritroso si ricava
( ) 2 − hλ i+1
y i+1 = y 0
2 + hλ
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