Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11.8. Errori di troncamento locale
Gli errori di arrotondamento nell’approssimare la derivata prima di una funzione si comportano come
O ( 1 ) (si veda l’esempio fatto sulla propagazione degli errori a pag. 30). Tuttavia questo aspetto diventa secondario
nella risoluzione delle ODE sia perchè il passo h nelle applicazioni non è mai troppo (esagerata-
h
mente) piccolo per ragioni di efficienza sia perchè è la y e non la y ′ la funzione che dobbiamo approssimare.
Inoltre, nell’eseguire i calcoli in doppia precisione (come si fa nei moderni linguaggi di programmazione),
l’aspetto dovuto all’arrotondamento si vede poco rispetto ad altri fenomeni che influenzano la propagazione
degli errori.
11.8 Errori di troncamento locale
G Nel metodo di Eulero esplicito:
G Nel metodo di Eulero implicito:
d i = y(t i+1) − y(t i )
− f (t i , y(t i )) = h h
2 y′′ (ξ i ) = O (h)
d i = y(t i+1) − y(t i )
− f (t i , y(t i+1 )) = − h h
2 y′′ (ξ i ) = O (h)
G Nel metodo di Crank-Nicolson (derivando la formula dai trapezi e includendo il termine dell’errore):
y(t i+1 ) − y(t i ) = h 2 [f (t i , y(t i )) + f (t i+1 , y(t i+1 ))] − f ′′ (ξ i ,τ i )
h 3
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dove ξ i e τ i sono opportuni punti. Ma f = y ′ da cui f ′ = y ′′ e f ′′ = y ′′′ .
Perciò
y(t i+1 ) − y(t i ) = h 2 [f (t i , y(t i )) + f (t i+1 , y(t i+1 ))] − y′′′ (ξ i )
h 3
12
d i = y(t i+1) − y(t i )
h
11.9 Convergenza e stabilità
Definizione 11.9.1 Un metodo si dice convergente se lim h→0
− 1 2 [f (t i , y(t i )) + f (t i+1 , y(t i+1 ))] = − y′′′ (ξ i )
h 2 = O (h 2 )
12
i→+∞
ɛ i = 0 cioè se l’errore va a zero al tendere del
passo h a zero e di i all’infinito in modo che il prodotto i h si mantenga costante (così t 0 +i h tende ad un valore
di t fissato: studiamo l’errore fissato t).
Esempio
Esempio 11.9.1 Vediamo come, fissato un certo istante t, possiamo fare tendere h a zero e far crescere i
all’infinito in modo che t 0 + i h sia sempre uguale a t. Sia t 0 = 0 e t = 0.5:
h i i h
0.5 1 0.5
0.25 2 0.5
0.125 4 0.5
0.0625 8 0.5
.
.
.
2.4414e-4 2048 0.5
Definizione 11.9.2 Un metodo si dice stabile se l’errore iniziale si mantiene limitato al crescere di i (per i → ∞):
con M costante positiva.
|ɛ i | ≤ M|ɛ 0 |
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