Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11. DIFFERENZIAZIONE NUMERICA ED EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE
Esempio
Esempio 11.6.1 Lo stesso esempio di prima (y ′ = −y con y(0) = 1) risolto con Crank-Nicolson dà: y i+1 =
y i + h 2 [−y i − y i+1 )] cioè
(1 + h 2 )y i+1 = (1 − h ( ) 2 − h
2 )y i =⇒ (2 + h)y i+1 = (2 − h)y i =⇒ y i+1 = y i
2 + h
Per h = 0.5, confrontiamo i valori ottenuti dai metodi di Eulero esplicito, implicito e Crank-Nicolson,
con la soluzione esatta:
t i y(t i ) y i Eul. Espl. y i Eul. Impl. y i C-N
0.0 1.000000 1.0000000 1.000000 1.000000
0.5 0.606531 0.5000000 0.666667 0.600000
1.0 0.367879 0.2500000 0.444444 0.360000
1.5 0.223130 0.1250000 0.296296 0.216000
2.0 0.135335 0.0625000 0.197531 0.129600
2.5 0.082085 0.0312500 0.131687 0.077760
3.0 0.049787 0.0156250 0.087791 0.046656
3.5 0.030197 0.0078125 0.058528 0.027994
4.0 0.018316 0.0039062 0.039018 0.016796
11.7 Studio dell’errore
Nel costruire i metodi (di Eulero esplicito, implicito, Crank-Nicolson) abbiamo trascurato un termine (il
resto della formula di Taylor o l’errore della formula dei trapezi): questo termine che abbiamo trascurato
rappresenta l’errore di troncamento locale. Nel caso di Eulero esplicito avevamo (usando la formula di
Taylor):
y ′ (t i+1 ) = y(t i+1) − y(t i )
− h h 2 y′′ (ξ i ) = f (t i , y(t i ))
Per costruire il metodo, abbiamo trascurato il termine del resto, vale a dire la quantità
d i = y(t i+1) − y(t i )
− f (t i , y(t i )) = h h
2 y′′ (ξ i ) = O (h)
Questa quantità ci dice di quanto la soluzione esatta “fallisce” nel soddisfare la relazione della formula di
Eulero esplicito e rappresenta l’errore di troncamento locale.
Definizione 11.7.1 Si definisce errore totale di troncamento ε i la quantità:
ε i = y(t i ) − y i .
Ci aspettiamo che sia dello stesso ordine di grandezza dell’errore di troncamento locale.
Definizione 11.7.2 Per effetto dell’arrotondamento, al tempo t i al posto di y i otteniamo il valore arrotondato
y i . Si definisce errore totale di arrotondamento la quantità:
ε i = y i − y i
Definizione 11.7.3 L’errore globale dello schema numerico è dato dal contributo dell’errore totale di
troncamento e dell’errore totale di arrotondamento
ɛ i = y(t i ) − y i = ε i + ε i
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