Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11.6. Metodo di Crank-Nicolson
Quindi y 1 = 0.9161779367.
Al secondo passo, lo schema di punto fisso è dato dalla funzione g (y) = y 1 − h(y 2 ) = 0.9161779367 −
0.1y 2 .
Come approssimazione iniziale prendiamo y (0) = y 1 + h f (t 1 , y 1 ) = g (y 1 ) = 0.8322397355. Si ha:
y (1) = g (y (0) ) = 0.9161779367 − 0.1(0.8322397355 2 ) = 0.8469156390
y (2) = g (y (1) ) = 0.9161779367 − 0.1(0.8469156390 2 ) = 0.8444513267
y (3) = g (y (2) ) = 0.9161779367 − 0.1(0.84445132672) = 0.8448681324
Ricaviamo y 2 = 0.8448681324.
11.6 Metodo di Crank-Nicolson
Partiamo dall’ODE 3 y ′ = f (t, y(t)). Integriamo ambo i membri dell’equazione sull’intervallo [t i , t i+1 ]:
∫ y(ti+1 )
y(t i )
∫ ti+1
∫ ti+1
dy = f (t, y(t)) dt =⇒ y(t i+1 ) − y(t i ) = f (t, y(t)) dt
t i t i
A secondo membro, applichiamo la formula dei trapezi trascurando l’errore di integrazione:
y i+1 − y i = h 2 [f (t i , y i ) + f (t i+1 , y i+1 )]
Si ha la formula di Crank-Nicolson: y i+1 = y i + h 2 [f (t i , y i ) + f (t i+1 , y i+1 )]
La stessa formula la si può ricavare prendendo la media aritmetica delle formule di Eulero esplicito e
implicito:
Altro
approccio
y i+1 − y i = h f (t i , y i )
y i+1 − y i = h f (t i+1 , y i+1 )
sommando e dividendo per 2:
y i+1 − y i = h 2 [f (t i , y i ) + f (t i+1 , y i+1 )] =⇒ y i+1 = y i + h 2 [f (t i , y i ) + f (t i+1 , y i+1 )]
3 John Crank (1916-2006) è stato un matematico inglese che si è dedicato soprattutto allo studio di soluzioni numeriche di equazioni
alle derivate parziali, in particolare di problemi di conduzione del calore. È noto soprattutto per il lavoro svolto con Phyllis Nicolson.
Phyllis Nicolson (1917-1968) è stata una matematica inglese. Negli anni della seconda guerra mondiale lavorò sulla teoria del
magnetron. È nota, appunto, per il metodo di Crank-Nicolson.
175