Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11. DIFFERENZIAZIONE NUMERICA ED EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE
Per confronto, calcoliamo la soluzione esatta y(t) = 1
t + 1 , ottenendo:
y(t 1 ) = y(0.1) = 1/(0.1 + 1) = 0.9090909090
y(t 2 ) = y(0.2) = 1/(0.2 + 1) = 0.8333333333
Applichiamo ora il metodo di Eulero implicito con lo stesso passo h = 0.1.
y i+1 = y i + h f (t i+1 , y i+1 ) = y i − hy 2 i+1
Per ricavare y 1 la formula diventa:
y 1 = y 0 + h f (t 1 , y 1 ) = 1 − 0.1(y 2 1 )
Abbiamo un’equazione non lineare in y 1 . Per trovare y 1 , possiamo pensare di applicare lo schema di
punto fisso alla funzione g (y) = 1−0.1(y 2 ) partendo da y (0) = y 0 = 1, in quanto y 1 = g (y 1 ) è punto fisso
per la funzione g . Applichiamo tre passi dello schema di punto fisso:
y (1) = g (y (0) ) = 1 − 0.1(1 2 ) = 0.9
y (2) = g (y (1) ) = 1 − 0.1(0.9 2 ) = 0.919
y (3) = g (y (2) ) = 1 − 0.1(0.919 2 ) = 0.9155439
Se prendiamo y (3) come approssimazione di y 1 ricaviamo y 1 = 0.9155439 (per confronto, il valore
esatto è 0.90909090).
Calcoliamo ora y 2 :
y 2 = y 1 + h f (t 2 , y 2 ) = 0.9155439 − 0.1(y 2 2 )
Ora la funzione di punto fisso diventa g (y) = 0.9155439−0.1(y 2 ). Applichiamo lo schema di punto fisso
partendo da y (0) = y 1 = 0.9155439.
y (1) = g (y (0) ) = 0.9155439 − 0.1(0.9155439 2 ) = 0.8317218367
y (2) = g (y (1) ) = 0.9155439 − 0.1(0.8317218367 2 ) = 0.8463677786
y (3) = g (y (2) ) = 0.9155439 − 0.1(0.8463677786 2 ) = 0.8439100583
Troviamo quindi y 2 = 0.8439100583 (valore esatto 0.8333333333).
Vediamo cosa accade in Eulero implicito se il punto iniziale del metodo di punto fisso è dato da un
passo del metodo di Eulero esplicito.
Per ricavare y 1 , considero come y (0) = y 0 + h f (t 0 , y 0 ) = 1 − 0.1 = 0.9
In tal caso, l’approssimazione iniziale è quella che, nel caso di prima, era il valore y (1) .
Applichiamo tre volte lo schema di punto fisso:
y (1) = g (y (0) ) = 1 − 0.1(0.9 2 ) = 0.919
y (2) = g (y (1) ) = 1 − 0.1(0.919 2 ) = 0.9155439
y (3) = g (y (2) ) = 1 − 0.1(0.9155439 2 ) = 0.9161779367
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