Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11.5. Metodo di Eulero implicito
Andando a sostituire nella ODE al tempo t i+1 , si ha :
y(t i+1 ) − y(t i )
+ h h 2 y′′ (ξ i ) = f (t i+1 , y(t i+1 ))
Trascurando il termine del resto di Taylor h 2 y′′ (ξ i ) abbiamo:
y i+1 − y i
h
= f (t i+1 , y i+1 ))
La formula di Eulero implicito vale y i+1 = y i + h f (t i+1 , y i+1 )).
La differenza rispetto alla formula esplicita è che la f è valutata non più al tempo t i ma al tempo t i+1 Quindi
il calcolo di y i+1 dipende implicitamente da y i+1 stesso! La valutazione di y i+1 diventa quindi più laboriosa
e complicata (se si ha un’equazione non lineare in y i+1 , la si risolve tramite un metodo di punto fisso o di
Newton-Raphson). In termini di accuratezza si hanno risultati migliori.
Esempio
Esempio 11.5.1 Consideriamo sempre y ′ = −y con y(0) = 1 (soluzione esatta y(t) = e −t ).
Il metodo di Eulero implicito diventa: y i+1 = y i − hy i+1 ovvero (1 + h)y i+1 = y i
La soluzione numerica è y i+1 =
y i
(1 + h) .
Per h = 0.5 ricaviamo y 1 = 0.66667 contro un valore esatto y(1) ≈ 0.60653.
Esempio
Esempio 11.5.2 Si abbia l’equazione y ′ = −y 3 con condizione iniziale y(0) = 1. Usando il metodo di
Eulero implicito con passo h = 0.5, per ricavare y 1 otteniamo l’equazione implicita
y 1 = y 0 + h f (t 1 , y 1 ) = 1 − 0.5y 3 1
Questa equazione non lineare in y 1 può essere risolta mediante metodo di punto fisso (x = g (x) =
1−0.5x 3 ) oppure utilizzando il metodo di Newton-Raphson per F (x) = 0 con F (x) = x −1+0.5x 3 ) . L’approssimazione
iniziale per ottenere y 1 può essere o la soluzione al passo precedente, y 0 , oppure usare il
metodo di Eulero esplicito, che dà y 1 = y 0 − 0.5y 3 0 = 0.5. Otteniamo, come y 1 il valore finale y 1 ≈ 0.7709.
Esempio
Esempio 11.5.3 Vogliamo discretizzare il problema di Cauchy
y ′ = −y 2
y(0) = 1
con passo h = 0.1 applicando il metodo di Eulero esplicito per ricavare y 1 e y 2 .
Il metodo di Eulero esplicito è:
y i+1 = y i + h f (t i , y i ) = y i + h(−y 2 i ) = y i − hy 2 i
Partendo da y 0 = 1 si ricava:
y 1 = 1 − 0.1(1 2 ) = 0.9
y 2 = 0.9 − 0.1(0.9 2 ) = 0.819
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