Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11. DIFFERENZIAZIONE NUMERICA ED EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE
Da un punto di vista geometrico (si veda la Figura 11.2), il valore in t i+1 è approssimato utilizzando il valore
della retta la cui pendenza è data da f (t i , y i ): è come se ad ogni passo cercassimo di risolvere il problema
a valori iniziali:
y ′ (t) = f (t, y(t))
y(t i ) = y i
per cui il valore che otteniamo per il tempo t i+1 è tangente alla traiettoria della soluzione di questo IVP.
Figura 11.2: Interpretazione geometrica del metodo di Eulero esplicito. Si è considerato il problema y ′ = −y
con y(0) = 1 la cui soluzione esatta è y(t) = e −t . I valori numerici ottenuti dal metodo di Eulero esplicito sono
cerchiati e si trovano sulla linea spezzata che li interpola. La linea spezzata è tangente, all’inizio di ogni passo,
alla traiettoria che passa per il corrispondente punto, soluzione del problema y ′ = −y con y(t i ) = y i .
11.5 Metodo di Eulero implicito
Se applichiamo la formula di Taylor di punto iniziale t i+1 , abbiamo
y(t) = y(t i+1 ) + (t − t i+1 )y ′ (t i+1 ) + (t − t i+1) 2
y ′′ (ξ i )
2
Per t = t i , si ha t − t i+1 = t i − t i+1 = t i − (t i + h) = −h. Sostituendo, abbiamo:
y(t i ) = y(t i+1 ) − hy ′ (t i+1 ) + h2
2 y′′ (ξ i )
Otteniamo quindi
y ′ (t i+1 ) = y(t i+1) − y(t i )
+ h h 2 y′′ (ξ i )
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