Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11.4. Metodo di Eulero esplicito
La quantità (t − t i ) 2
y ′′ (ξ i ) è il resto della formula di Taylor con ξ i un punto opportuno nel segmento di
2
estremi t e t i .
Prendiamo come t il valore t i + h vale a dire t i+1 , da cui si ha t − t i = t i+1 − t i = h. Sostituendo si ottiene:
y(t i+1 ) = y(t i ) + hy ′ (t i ) + h2
2 y′′ (ξ i )
Esplicitando y ′ (t i ) rispetto agli altri termini si ha:
y ′ (t i ) = y(t i+1) − y(t i )
− h h 2 y′′ (ξ i )
Ora si sostituisce il valore trovato per y ′ (t i ) nella ODE y ′ = f (t, y(t)) per t = t i :
y(t i+1 ) − y(t i )
− h h 2 y′′ (ξ i ) = f (t i , y(t i ))
Trascurando il termine h 2 y′′ (ξ i ) non abbiamo più i valori della soluzione esatta, ma otterremo i valori della
soluzione approssimata. Scriviamo dunque:
y i+1 − y i
= f (t i , y i )
h
La formula di Eulero esplicito è: y i+1 = y i + h f (t i , y i ).
La formula è di tipo esplicito perchè per passare dal livello i al livello i + 1 sfruttiamo i dati che già
conosciamo del livello i .
Si parte infatti da y 0 = y(t 0 ) = y(a) = y a e si ricava:
y 1 = y 0 + f (t 0 , y 0 )
y 2 = y 1 + f (t 1 , y 1 )
. = . . .
Si arriva alla stessa formula integrando l’ODE e approssimando l’integrale della f mediante il valore in
f (t 0 , y(t 0 )): da y ′ = f (t, y(t)) integrando ambo i membri da t 0 a t, otteniamo
∫ t
t 0
∫
d y
t
d t d t =
t 0
f (t, y(t)) d t =⇒
∫ y(t)
y 0
d y =
∫ t
t 0
f (t, y(t)) d t
Al secondo membro, approssiamo ∫ t
t 0
f (t, y(t)) d t mediante il valore (t − t 0 )f (t 0 , y(t 0 )) (approssimiamo la f
mediante la retta f (t 0 , y(t 0 ))).
Abbiamo:
y(t) = y 0 + (t − t 0 )f (t 0 , y 0 )) + errore della formula di quadratura.
Per t = t 1 , numericamente: y 1 = y 0 + h f (t 0 , y 0 )).
Ai passi successivi: y i+1 = y i + h f (t i , y i ))
Un altro
approccio
Esempio
Esempio 11.4.1 Supponiamo di applicare il metodo di Eulero esplicito alla ODE y ′ = −y con passo h a
partire dal punto iniziale t 0 = 0 e avanziamo al tempo t 1 = t 0 + h
y 1 = y 0 + h f (t 0 , y 0 ) = y 0 − hy 0 = (1 − h)y 0
Il valore y 1 che otteniamo è affetto da errore: y 1 ≠ y(t 1 ) Per esempio, se per t 0 si ha y 0 = 1, la soluzione
esatta è y(t) = e −t . Per h = 0.5, si ha y 1 = 0.5 mentre y(0.5) = e −0.5 ≈ 0.60653
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Interpretazione
geometrica