Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11. DIFFERENZIAZIONE NUMERICA ED EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE
Sistemi di
ODE
Esempio
Esempio 11.3.2 La seconda legge del moto di Newton dice che la forza F è uguale al prodotto della
massa m per l’accelerazione a: F = ma. Questa equazione è una ODE del secondo ordine in quanto
l’accelerazione a è data da a = y ′′ , dove y è la coordinata della posizione. L’ODE può essere riscritta
come: y ′′ = F m . Definendo u 1 = y e u 2 = y ′ si ha il sistema (equivalente all’equazione di prima) di due
equazioni del primo ordine di ODE:
( u
′
1
u ′ 2
) ( )
u2
=
F /m
Per risolvere il sistema, possiamo usare metodi che vanno bene per risolvere equazioni differenziali del
primo ordine. La prima componente della soluzione u 1 corrisponde alla posizione y dell’equazione da
cui siamo partiti. La seconda componente u 2 fornisce la velocità y ′ .
Sistemi del primo ordine di ODE hanno la forma
y ′ (t) = f(t,y)
dove y : R −→ R n con y = (y 1 y 2 ... y n ), f : R n+1 −→ R n e y ′ (t) = dy
d t
denota la derivata rispetto a t (per cui la
i -sima componente del vettore derivata è data da y ′ i (t) = d y i (t)
). La funzione f è assegnata e noi vogliamo
d t
determinare il vettore di funzioni y che soddisfa l’ODE.
Per semplicità noi studieremo il caso di una singola equazione scalare, n = 1. Ma l’approccio è del tutto
simile nel caso di sistemi di equazioni del primo ordine.
Sia data l’ODE
y ′ = f (t, y(t))
a ≤ t ≤ b
con valore iniziale
y(a) = y a .
Per risolvere questa ODE discretizziamo l’intervallo [a,b] in n + 1 punti, equidistanti per semplicità: t i =
a + i h, h = 0,1,...,n, con h = (b − a)/n.
Il passo di discretizzazione (temporale se t assume il significato della variabile temporale) è dunque h.
Nelle applicazioni pratiche, il passo h è variabile (cioè i punti non sono equidistanti), tuttavia, per capire
meglio come funzionano i metodi, noi useremo sempre un passo h costante.
Sia y(t) la soluzione esatta del nostro problema a valori iniziali. Allora y(t i ) è il valore esatto della
soluzione calcolata nel punto t i .
Indichiamo invece con y i il valore approssimato al tempo t i che ricaviamo applicando un metodo
numerico che risolve il problema proposto.
11.4 Metodo di Eulero esplicito
Con il metodo di Eulero 2 esplicito applichiamo la formula di Taylor (del secondo ordine) alla funzione
y(t), di centro t i , in modo da poter successivamente approssimare la derivata prima y ′ (t i ):
y(t) = y(t i ) + (t − t i )y ′ (t i ) + (t − t i ) 2
y ′′ (ξ i )
2
2 Leonhard Euler (1707-1783) fu un matematico svizzero. Fu studente di Johann Bernoulli che comprese le sue grandi potenzialità
e favorì i suoi studi. Eulero è noto soprattutto per i suoi contributi nel campo della geometria, della teoria dei numeri, delle equazioni
differenziali, del calcolo delle variazioni. È lui che introdusse il simbolo f (x) per indicare le funzioni, e per la base naturale, i per la
radice quadrata di −1, di π, il simbolo di sommatoria ∑ e altri ancora.
170