Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11. DIFFERENZIAZIONE NUMERICA ED EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE
Ricaviamo la formula, detta a 5 punti perchè, oltre al punto in cui vogliamo approssimare la derivata, ne
consideriamo altri quattro.
La formula a 5 punti è data da
f ′ (x 0 ) ≈ 1 (
f (x0 − 2h) − 8f (x 0 − h) + 8f (x 0 + h) − f (x 0 + 2h) )
12h
L’errore di troncamento dipende da h 4 .
Altre tecniche di differenziazione numerica sono basate sull’interpolazione polinomiale di Lagrange (se
p(x) approssima f (x) allora p ′ (x) approssima f ′ (x)) o su un procedimento di estrapolazione di Richardson
(simile a quello che abbiamo visto per le formule di integrazione numerica). Il discorso si estende, inoltre,
per approssimare derivate di ordine superiore.
Nell’applicare queste formule, dobbiamo ricordarci che, oltre all’errore di troncamento dovuto al tipo di
approssimazione fatto, c’è anche l’errore di arrotondamento. Nell’esempio 3.6.4, avevamo visto come, per
piccoli valori di h, il fenomeno di cancellazione numerica portava a crescite degli errori.
La scelta di h dovrebbe, perciò, dipendere, dall’ordine dell’errore di troncamento (che conosciamo) e
da una maggiorazione sul termine d’errore d’arrotondamento (valore che in genere non conosciamo). Per
evitare che domini l’errore di arrotondamento (che può portare al fenomeno di cancellazione numerica) è
importante non prendere h troppo vicino alla precisione di macchina.
Esempio
Esempio 11.2.1 Riprendiamo l’esempio 3.6.4 per confrontare le diverse formule che abbiamo introdotto.
Dobbiamo derivare f (x) = sin(x) in x 0 = 1.2. Per confrontare le diverse formule, partiamo da h = 1 e
lo riduciamo fino ad arrivare a h = 10 −12 . In Figura 11.1, in un grafico semilogaritmico, confrontiamo
gli errori assoluti ottenuti dalle varie formule. Possiamo osservare che le formule forward e backward
danno risultati confrontabili tra loro. La formula centrata porta a errori notevolmente inferiori rispetto
alle prime due formule e la formula a 5 punti riduce ancora l’errore. Per la scelta di h che abbiamo fatto,
l’errore si riduce senza mostrare il fenomeno di cancellazione numerica.
11.3 Sulle equazioni differenziali ordinarie
Passiamo ora a studiare le equazioni differenziali ordinarie.
Vogliamo trovare una funzione y(t) che soddisfi la seguente equazione differenziale ordinaria ( ODE:
Ordinary Differential Equation) del primo ordine:
dy
= f (t, y),
dt a
≤ t ≤ b
La funzione f (t, y) è assegnata. Ci riferiamo a t come alla variabile indipendente. Dobbiamo trovare quella
funzione y = y(t) tale che la sua derivata prima y ′ = y ′ (t) = dy(t) coincida con f (t, y(t)).
dt
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