Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11.2. Differenziazione numerica
Se, invece, applichiamo la formula di Taylor a x = x 0 + h abbiamo la forward difference formula, formula
delle differenze in avanti:
da cui
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f ′ (x 0 ) + h2
2 f ′′ (ξ)
f ′ (x 0 ) = f (x 0 + h) − f (x 0 )
− h h
2 f ′′ (ξ)
La forward formula è f ′ (x 0 ) = f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
L’errore è sempre del primo ordine.
Una formula di grado più elevato si ottiene considerando tre punti x 0 −h, x 0 , x 0 +h. Prendiamo le formule
di Taylor di centro x 0 − h e x 0 + h scritte fino alla derivata terza di f ,
f (x 0 + h) = f (x 0 ) + h f ′ (x 0 ) + h2
2 f ′′ (x 0 ) + h3
6 f ′′′ (ξ 1 )
f (x 0 − h) = f (x 0 ) − h f ′ (x 0 ) + h2
2 f ′′ (x 0 ) − h3
6 f ′′′ (ξ 2 )
Sottraendo membro a membro abbiamo
f (x 0 + h) − f (x 0 − h) = 2h f ′ (x 0 ) + h3
6 (f ′′′ (ξ 1 ) + f ′′′ (ξ 2 ))
Ora le due derivate terze nei due punti ξ 1 e ξ 2 (che non conosciamo) sono comprese tra un valore minimo e
un valore massimo, da cui anche il loro valore medio f ′′′ (ξ 1 ) + f ′′′ (ξ 2 )
è compreso tra il minimo e il massimo
2
della funzione f ′′′ stessa (si veda il Teorema del Valore Intermedio), cioè esiste ξ (compreso tra ξ 1 e ξ 2 e,
quindi, tra x 0 − h e x 0 + h) per cui f ′′′ (ξ) = f ′′′ (ξ 1 ) + f ′′′ (ξ 2 )
. Sostituendo abbiamo
2
f (x 0 + h) − f (x 0 − h) = 2h f ′ (x 0 ) + h3
6 2f ′′′ (ξ )
Risolviamo ora per f ′ (x 0 ), ottenendo
f ′ (x 0 ) = f (x 0 + h) − f (x 0 − h)
− h2
2h
6 f ′′′ (ξ)
Se trascuriamo il termine che dipende da h 2 otteniamo un’approssimazione di f ′ (x 0 ).
La formula centrata è data da f ′ (x 0 ) = f (x 0 + h) − f (x 0 − h)
2h
Il termine che trascuriamo per ottenere le formule di differenziazione numerica, cioè l’errore di
discretizzazione, prende il nome di errore di troncamento.
La formula centrata valuta il valore della f in soli due punti, come è stato fatto per le formule backward e
forward ma ha un ordine di accuratezza più elevato.
Formule più accurate si possono ottenere usando più punti nell’intorno di x 0 e considerando espansioni
di Taylor che coinvolgono derivate di ordine più elevato. Ad esempio, prendendo i punti x 0 −2h, x 0 −h, x 0 +h
e x 0 + 2h si può ricavare
f ′ (x 0 ) = 1 (
f (x0 − 2h) − 8f (x 0 − h) + 8f (x 0 + h) − f (x 0 + 2h) ) + h4
12h
30 f (v) (ξ)
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