Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

11. DIFFERENZIAZIONE NUMERICA ED EQUAZIONI ALLE DERIVATE ORDINARIE
Questa equazione governa l’intensità di corrente in un circuito oscillante a triodo e viene utilizzata nello
studio di circuiti che contengono valvole termoioniche, i cosiddetti tubi a vuoto, come il tubo catodico del
televisore o il magnetron nei forni a microonde. La quantità ɛ indica l’intensità dello smorzamento non
lineare: quanto più ɛ è elevato tanto più il sistema perde energia rapidamente.
L’equazione differenziale del secondo ordine si può ricondurre ad un sistema di equazioni differenziali
del primo ordine. Ponendo u = (u 1 ,u 2 ) = (y, y ′ ) si ha
( u
′
1
u ′ 2
) (
)
u 2
=
−ɛ((u 1 ) 2 − 1)u 2 − u 1
Come si risolve numericamente un sistema di equazioni differenziali come quello appena scritto In questo
Capitolo, daremo una piccola introduzione ad alcune tecniche di differenziazione numerica e ad alcuni
metodi numerici che permettono di risolvere equazioni differenziali del primo ordine.
11.2 Differenziazione numerica
Dall’analisi matematica, sappiamo come si calcolano le derivate di una funzione. Tuttavia è utile conoscere
anche delle tecniche numeriche di differenziazione, sia perchè, molte volte, la funzione non è nota in
maniera esplicita ma solo per punti, sia perchè, a volte, la funzione è troppo complicata!
Dall’analisi, sappiamo che, assegnata una funzione y = f (x) e dato un punto x 0 nel suo insieme di
definizione, la derivata f ′ (x 0 è data da
f ′ (x 0 ) = lim
h→0
f (x 0 + h) − f (x 0 )
h
Per ottenere una formula che approssima la derivata prima di f ′ (x 0 ), useremo nodi equidistanti in un
intorno di x O : x 0 − h, x 0 , x 0 + h,... con h una quantità positiva sufficientemente piccola.
Consideriamo la f sufficientemente regolare per applicare la formula di Taylor (f continua e limitata
insieme alle sue derivate, fino ad un ordine sufficientemente elevato). La formula di Taylor della funzione f
di centro x 0 , se ci fermiamo alla derivata seconda, è data da
f (x) = f (x 0 ) + f ′ (x 0 )(x − x 0 ) + (x − x 0) 2
f ′′ (ξ)
2
dove ξ è un punto, che non conosciamo, nell’intervallo di estremi x e x 0 ..
Prendiamo come x il valore x = x 0 − h: la formula di Taylor si legge come
f (x 0 − h) = f (x 0 ) − h f ′ (x 0 ) + h2
2 f ′′ (ξ)
Portiamo a primo membro f ′ (x 0 , ottenendo
f ′ (x 0 ) = f (x 0) − f (x 0 − h)
+ h h
2 f ′′ (ξ)
Se trascuriamo il termine h2
2 f ′′ (ξ) abbiamo una formula che approssima f ′ (x 0 ) e che si chiama backward
difference formula, formula delle differenze all’indietro (stiamo usando infatti il punto x o − h).
La backward difference formula è data da f ′ (x 0 ) = f (x 0) − f (x 0 − h)
h
Questa formula richiede la conoscenza del valore della f in due punti x 0 e x 0 − h ed è del primo ordine
(trascuriamo, infatti, un termine che dipende da h: h 2 f ′′ (ξ)).
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