Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

CAPITOLO 11
Differenziazione numerica ed equazioni alle
derivate ordinarie
L’universo è un’equazione
differenziale.
Jules Henri Poincarè
11.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
11.2 Differenziazione numerica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
11.3 Sulle equazioni differenziali ordinarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
11.4 Metodo di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
11.5 Metodo di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
11.6 Metodo di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
11.7 Studio dell’errore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
11.8 Errori di troncamento locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.9 Convergenza e stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
11.9.1 Convergenza di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.9.2 Stabilità di Eulero esplicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178
11.9.3 Convergenza di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.9.4 Stabilità di Eulero implicito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.9.5 Convergenza di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
11.9.6 Stabilità di Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.9.7 Sulla stabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
11.10 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
11.1 Introduzione
All’inizio del ’900, van der Pol 1 studiò fenomeni non lineari e propose l’equazione differenziale
y ′′ (t) + ɛ(y 2 (t) − 1)y ′ (t) + y(t) = 0
1 Balthasar van der Pol (1889-1959) fu un fisico e matematico olandese. Nel 1916 lavorò per un anno con l’ingegnere John Ambrose
Fleming a Londra (Fleming aveva già inventato il diodo nel 1904). Si trasferì successivamente a Cambridge e iniziò una collaborazione
con John Joseph Thomson al Cavendish Laboratory (Thomson aveva scoperto l’elettrone nel 1897). Qui divenne amico di Edward Appleton
che, nel 1947, ricevette il premio Nobel per la fisica per i suoi contributi alla conoscenza della ionosfera – studi fatti insieme a
van der Pol. La loro collaborazione riguardò anche lo studio di fenomeni non lineari usando circuiti triodi per verificare le loro teorie.
Quando van del Pol rientrò in Olanda, continuò a occuparsi di ottica, elettromagnetismo, onde radio e fisica atomica. Il nome di van
der Pol è associato con l’equazione differenziale che porta il suo nome. Questa equazione apparve per la prima volta sul suo articolo On
relaxation oscillation pubblicato sulla rivista Philosophical Magazine nel 1926.
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