Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
Esercizio 10.8.3 Dato l’integrale
∫ 0.5
1
I = d x
1 − x
2
0
(a) si approssimi I con i valori Q 1 e Q 2 ottenuti applicando il metodo di Cavalieri-Simpson prima a tutto
l’intervallo e poi suddividendo l’intervallo in due parti uguali;
(b) si approssimi I usando la formula di estrapolazione di Richardson;
(c) dopo aver calcolato analiticamente il valore esatto di I , determinare l’errore esatto commesso con
l’estrapolazione di Richardson.
Svolgimento
(a) Applichiamo la formula di Cavalieri-Simpson su tutto l’intervallo, considerando che l’ampiezza
dell’intervallo è b − a = 0.5
Q 1 = 0.5 (f (0) + 4f (0.25) + f (0.5)) = 0.523823565
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Si ha, infatti, f (0) = 1, f (0.25) = 1.03279556 e f (0.5) = 1.15470054.
Suddividendo l’intervallo in due parti uguali, abbiamo h = 0.25, da cui i punti: x 0 = a = 0, x 1 = 0.125,
x 2 = 0.25, x 3 = 0.375, e x 4 = b = 0.5.
Q 2 = h 6 (f (x 0) + 4(f (x 1 ) + 4f (x 3 )) + 2f (x 2 ) + f (x 4 )) = 0.523616326
dove f (0.125) = 1.00790526, f (0.375) = 1.07871978 (essendo già in possesso degli altri valori, calcolati
per Q 1 )
(b) La formula di estrapolazione di Richardson è: I R = Q 2 + Q 2 −Q 1
da cui ricaviamo I R = 0.5236025101
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(c) Analiticamente l’integrale esatto è:
I =
∫ 0.5
0
1
1 − x
2 d x = arcsin(x)|0.5 0 = π/6 − 0 = 0.523598775
L’errore esatto commesso con l’estrapolazione di Richardson, in valore assoluto, è: |I −I R | = 3.7351·
10 −6 .
Esercizio 10.8.4 Si calcoli I = ∫ 5
2 sin( x) d x utilizzando il metodo di Gauss-Legendre con 3 punti di
appoggio (x 1 = − (3/5), x 2 = 0, x 3 = (3/5); w 1 = w 3 = 5/9, w 1 = 8/9).
Svolgimento
Applichiamo la formula, ricordandoci che dobbiamo utilizzarla non in [2,5] ma in [−1,1]. Considerando
che la trasformazione dall’intervallo [2,5] all’intervallo [−1,1] porta al cambiamento di variabili x = b − a
2 t +
b + a
= 5 − 2
2 2 t + 5 + 2 = 3 2 2 t + 7 2 si ha d x = 3 d t. La formula di Gauss-Legendre deve essere applicata sui nodi
2
trasformati dati da 3 2 x i + 7 . Perciò abbiamo
2
I G = 3 (w 1 f ( 3 2 2 x 1 + 7 2 ) + w 2 f ( 3 2 x 2 + 7 2 ) + w 3 f ( 3 2 x 3 + 7 )
2 )
= 1.5 ( (5/9)f (−1.161895004 + 3.5) + (8/9)f (3.5) + (5/9)f (1.161895004 + 3.5) )
= 1.5(0.5550723689 + 0.8491794877 + 0.4621443545) = 2.799594317
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