Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.8. Esercizi
Esercizio 10.8.2 Sia dato l’integrale
∫ 2
2
0 x − 4 d x
(a) Dare una sua approssimazione con la formula dei trapezi e n = 4 suddivisioni in parti uguali
dell’intervallo di integrazione.
(b) Trovare una maggiorazione dell’errore commesso.
(c) Confrontare l’errore esatto con la stima precedentemente trovata.
(d) Dire in quanti sottointervalli occorre suddividere l’intervallo di integrazione per ottenere una
maggiorazione dell’errore minore della tolleranza ɛ = 10 −5 .
Svolgimento
(a) Suddividendo l’intervallo di integrazione [0,2] in n = 4 parti si trova un passo h = 2/4 = 1/2 = 0.5.
La formula dei trapezi è:
I T = b − a f (a) + f (b)
( + f (x 1 ) + f (x 2 ) + f (x 3 ))
n 2
f (0) + f (2)
= 0.5( + f (0.5) + f (1) + f (1.5))
2
= 0.5( −0.5 − 1 − 0.571428571 − 0.666666667 − 0.8)
2
= −1.39404762
(b) Consideriamo la formula dell’errore: E = − f ′′ (ξ) (b − a) 3
12 n 2
Da f (x) = 2
x − 4 segue f ′ (x) =
−2
(x − 4) 2 e f ′′ 4
(x) =
(x − 4) 3 .
Per maggiorare l’errore dobbiamo considerare che vale
|E| ≤ max 0≤x≤2 |f ′′ (x)| (b − a) 3
12
n 2 , da cui dobbiamo calcolare M = max 0≤x≤2 |f ′′ (x)|.
La funzione (x −4) 3 4
è continua, crescente e sempre negativa nell’intervallo [0,2]. Quindi |
(x − 4) 3 | =
4
(4 − x) 3 : osserviamo il cambiamento al denominatore. Poniamo g (x) = 4
(4 − x) 3 . Risulta g ′ (x) =
12
(4 − x) 4 > in [0,2], quindi la g è crescente e ha valore massimo per x = 2. Perciò M = max 0≤x≤2 |f ′′ (x)| =
|f ′′ (2)| = 4 2 3 = 1/2 = 0.5. Si ha allora la maggiorazione dell’errore |E| ≤ M 12
(c) L’integrale esatto si calcola facilmente:
2 3
4 2 = 1
48 = 0.0208333333
∫ 2
I =
0
2
x − 4 d x = 2ln(|x − 4|)|2 0 = 2ln(| − 2|) − 2ln(| − 4|) = 2ln(1/2) = ln(1/4) − 1.386294361
L’errore esatto commesso con la formula dei trapezi, in valore assoluto, è |I − I T | = 0.00775325793
(d) Perchè la maggiorazione dell’errore sia minore della tolleranza ɛ = 10 −5 deve essere |E| ≤ M 12 n 2 ≤ 10−5
cioè n 2 ≥ M 12 23 10 5 = 105
3 = 33333.333333. Quindi n > 182.574186, vale a dire n = 183. 163
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