Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.7. Introduzione alle formule di quadratura di Gauss
Figura 10.7: Funzione peso per le formula di quadratura di Gauss-Hermite.
10.7.4 Applicazione delle formule
Supponiamo di voler approssimare un integrale utilizzando le formule di Gauss-Legendre, ma in un
intervallo diverso da [−1,1].
Dobbiamo fare un cambio di variabili. Da ∫ b
a f (x) d x dobbiamo passare a ∫ 1
−1
f (t) d t.
Poniamo x = b − a
2 t + b + a
2
Per t = −1 si ha x = b − a
2 (−1) + b + a = −b + a + b + a = 2a = a. Quindi per t = −1, si ha x = a (il primo
2
2
2
estremo di un intervallo viene trasformato nel primo estremo dell’altro intervallo).
Per t = 1 si ha x = b − a
2 (1) + b + a = b − a + b + a = 2b 2
2 2 = b.
Perciò, per t = 1, si ha x = b.
Inoltre d x = b − a d t. Con la trasformazione di variabili si ha:
2
∫ b
∫ 1
( b − a
f (x) d x = f
a
−1 2 t + b + a ) b − a
d t
2 2
Applicando la formula di Gauss-Legendre
∫ b
a
f (x) d x ≈ b − a
2
n∑
w G i
i=0
f ( b − a
2 x i + b + a
2 )
10.7.5 Sulla funzione peso
Supponiamo di voler integrare una funzione g (x) in [a,b] (intervallo finito). Supponiamo che la funzione
integranda g abbia una singolarità algebrica agli estremi (con una certa molteplicità), in modo da poter
scrivere g (x) = f (x)(b − x) α (x − a) β
Adesso, facciamo un cambiamento di variabile, da [a,b] a [−1,1], considerando la trasformazione x =
b − a
2 t + b + a
2 .
Si ha (b − x) = b − a
b − a
(1 − t) e (x − a) = (1 + t).
2 2
Allora
∫ b
a g (x) d x = b − a
∫ 1
−1 f ( b − a
) α ( ) b − a β
(1 − t) α (1 + t) β d t
2
2
2 t + b + a ( b − a
2 ) 2
( ) b − a α+β+1
∫ 1
=
−1
2
f ( b − a
2 t + b + a
2 )(1 − t)α (1 + t) β d t
Posso applicare le formule di Gauss-Jacobi e “scaricare” sulla funzione peso le singolarità della funzione
di partenza.
Sia dato l’integrale ∫ 1
0 f (x)(1 − x)p d x con f regolare e p intero elevato: allora (1 − x) p è una funzione che
ha valori vicini a zero. La funzione da integrare è quasi discontinua e le formule classiche (Trapezi o Cavalieri-
Simpson) non danno buoni risultati. Si può pensare a questo integrale come ad un integrale di tipo Jacobi (su
cui applicare la formula di Gauss-Jacobi) con α = p e β = 0. Si fa l’opportuno passaggio di variabili in modo
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