Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.7. Introduzione alle formule di quadratura di Gauss
ti del polinomio F (x). Una volta trovato il polinomio F (x) ricaviamo le radici, che sono appunti i nodi di
integrazione 6 .
10.7.1 Proprietà delle formule di Gauss
Scriviamo le formule di Gauss con la notazione
∫ b
a
f (x)w(x) d x =
n∑
w i f (x i ) + E G i nt (f )
i=0
Si ha E G (f ) ≡ 0 per f polinomio di grado ≤ 2n + 1
i nt I nodi x i sono reali, distinti e contenuti nell’intervallo aperto ]a,b[.
G I pesi w i sono tutti positivi.
Infatti, per j = 0,1,...n si ha 0 < ∫ b
a (L j (x)) 2 w(x) d x = ∑ n
i=0 w i (L j (x i )) 2
(l’errore è nullo perchè (L j (x)) 2 è un polinomio di grado 2n). Ma L j (x i ) = 0 se i ≠ j e L j (x i ) = 1 se i = j .
Quindi ∑ n
i=0 w i (L j (x i )) 2 = w j . Abbiamo provato che i pesi sono positivi.
Le formule di Gauss si possono ricavare mediante interpolazione (detta di Hermite) sui nodi x i contati
ciascuno come nodo doppio nel senso che su ciascun nodo imponiamo la condizione di interpolazione non
solo sulla f ma anche sulla derivata prima della f . Una volta che abbiamo ricavato il polinomio di interpolazione
p(x) (che interpola quindi per ogni nodo sia la f sia la f ′ ) e approssimato ∫ b
f (x)w(x) d x mediante
∫ b
a
p(x)w(x) d x, dalla formula che ricaviamo imponiamo che i termini che contengono la derivata prima
siano uguali a zero (questa osservazione è dovuta a Markov, matematico russo, nel 1885).
La formula che otteniamo (considerando che il polinomio interpola la f e la f ′ ) avrà termini del tipo:
∫ b
a f (x)w(x) d x = ∑ n
i=0 w i f (x i ) + ∑ n
i=0 C i f ′ (x i ) + E G i nt (x)
Imponendo C i = 0 i = 0,1,2,...n, otteniamo n + 1 condizioni che ci permettono di ricavare i valori di x i (i
nodi di integrazione della formula). Possiamo poi ricavare il valore dei pesi w i (che dipendono a loro volta dai
nodi). Nel procedere con l’interpolazione sui valori della f e della f ′ , l’errore del polinomio di interpolazione
si può scrivere come E = (F (x)) 2 f (2(n+1)) (ξ x )
(poichè ogni nodo è contato due volte, e supponendo che la f
(2(n + 1))!
sia derivabile 2(n + 1) volte e sia continua).
Di conseguenza, l’errore nella formula di integrazione (applicando il teorema del Valor Medio in quanto
(F (x)) 2 w(x) non cambia segno nell’intervallo di integrazione) si può scrivere come E G i nt
E G i nt (x) = f (2(n+1)) (ξ)
(2(n + 1))!
∫ b
a
(F (x)) 2 w(x) d x
10.7.2 Formule di Gauss-Legendre
A seconda della funzione peso, si ha una particolare formula di Gauss.
In genere i nodi di integrazione sono calcolati su intervalli “canonici” (spetta a noi fare il cambio di
variabili se l’integrale è da farsi su altri intervalli).
Per w(x) ≡ 1 e [a,b] ≡ [−1,1] si ha la formula di Gauss-Legendre.
I nodi della formula di quadratura, sono le radici dei cosiddetti polinomi di Legendre.
6 Ricordiamo che un polinomio di grado n + 1 lo possiamo scrivere come a n+1 x n+1 + a n x n + ··· + a 0 ma possiamo anche dividere
per il coefficiente di grado massimo e scriverlo in forma cosiddetta monica x n+1 + b n x n + b n−1 x n−1 + ... + b 0 , e avere quindi solo n + 1
coefficienti (b 0 , b 1 , . . . , b n ) : le radici dei due polinomi non cambiano.
a
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