Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
G fa sì che k non possa essere maggiore o uguale a n + 2. Se fosse infatti k = n + 2, il punto (b) sarebbe:
(b) il polinomio dei nodi F (x) soddisfa la relazione ∫ b
a
F (x)p(x)w(x)d x = 0 per ogni polinomio p di
grado ≤ k − 1 = n + 1.
Allora, si potrebbe prendere come polinomio p(x) esattamente F (x) (che ha grado n + 1) e, per la
(b) sarebbe ∫ b
a (F (x))2 w(x)d x = 0: ma questo è un assurdo perchè l’integrale di una funzione positiva
non può essere nullo, e, nel nostro caso, w(x) è positiva e (F (x)) 2 , essendo il quadrato di un polinomio,
è pure essa una funzione positiva.
Il caso ottimale (il più alto grado di precisione che si può ottenere), si ha per k uguale al valore massimo che
può assumere, vale a dire k = n + 1. In tal caso d = n + k = n + n + 1 = 2n + 1. Si hanno le cosiddette formule
di Gauss.
A seconda della scelta della funzione peso w e dell’intervallo [a,b] abbiamo diverse formule di Gauss.
Dimostrazione.
[del teorema di W. Gautschi]
Dimostriamo che se d = n + k allora sono vere la (a) e la (b) (necessità). Essendo d =
n + k la formula è esatta anche per polinomi di grado n: abbiamo dimostrato il punto
(a).
Se p è un polinomio di grado al più k − 1, allora F (x)p(x) è un polinomio (perchè
prodotto di due polinomi) di grado al più n + 1 + k − 1 = n + k. Applichiamo a questo
polinomio prodotto la formula di quadratura (che è esatta valendo l’ipotesi che d = n + k, quindi
E i nt (F (x)p(x)) = 0). Quindi
∫ b
a
F (x)p(x)w(x) d x =
n∑
F (x i )p(x i )w i .
i=0
Ma F (x i ) = 0 essendo F il polinomio dei nodi. Perciò ∑ n
i=0 F (x i )p(x i )w i = 0 Di conseguenza
∫ b
a F (x)p(x)w(x) d x = ∑ n
i=0 F (x i )p(x i )w i = 0 e quindi il punto (b) è provato.
Supponiamo ora che siano vere le condizioni (a) e (b) e dimostriamo che d = n + k (sufficienza). Sia
p un polinomio di grado n + k. Dobbiamo provare che E i nt (p) = 0. Dividiamo il polinomio p per il
polinomio F : possiamo scrivere p(x) = F (x)q(x) + r (x) dove q(x) (quoziente) è un polinomio di grado
k − 1 e r (x) (resto) è un polinomio di grado n. Nel fare l’integrale, abbiamo
∫ b
a
p(x)w(x) d x =
∫ b
a
q(x)F (x)w(x) d x +
∫ b
a
r (x)w(x) d x
Il primo integrale a secondo membro vale zero a motivo dell’ipotesi (b) (q(x) è un polinomio di grado
k − 1 e quindi quell’integrale è zero). Il secondo integrale, invece, per la (a) può essere calcolato esattamente
andando ad applicare la formula di quadratura (essendo r di grado n ed essendo la formula
interpolatoria si ha E i nt (r ) = 0 ). Si ha
∫ b
a
p(x)w(x) d x =
∫ b
a
r (x)w(x) d x =
n∑
r (x i )w i
Ma r (x i ) = p(x i ) − q(x i )F (x i ) = p(x i ) (essendo F (x i ) = 0). Quindi
∫ b
a
p(x)w(x) d x =
∫ b
a
r (x)w(x) d x =
i=0
n∑
p(x i )w i
L’errore è dunque zero e la dimostrazione è completata. ✔
i=1
Da un punto di vista teorico la condizione (a) del teorema permette di calcolare i pesi delle formule di
Gauss: essendo la formula interpolatoria si ha w i = ∫ b
a L i (x)w(x) d x.
La condizione (b) permette di calcolare i nodi x i della formula (imponendo l’ortogonalità tra F (x) e i
polinomi di grado k = 0,1,2,...,n si ricava un sistema di n + 1 equazioni nelle incognite dei coefficien-
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