Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.7. Introduzione alle formule di quadratura di Gauss
Diremo che la formula di quadratura ha un grado di precisione (o esattezza) polinomiale d se E i nt (f ) = 0
per tutti i polinomi f fino al grado d (cioè se applichiamo la formula di quadratura per approssimare
∫ b
a
f (x)w(x) d x con f polinomio di grado d, l’errore è nullo). Osserviamo che ora non stiamo parlando di
formule di quadratura composte quindi n non si riferisce a suddivisioni dell’intervallo [a,b].
Per le formule di Newton-Cotes, si ha w(x) ≡ 1 e si può provare che il grado di precisione d è:
d = n per le formule ottenute da polinomi di interpolazione di grado n dispari (come nei Trapezi: n = 1)
G d = n + 1 per le formule ottenute da polinomi di interpolazione di grado n pari (come in Cavalieri-
Simpson: n = 2)
Diremo che la formula di quadratura è interpolatoria se vale d = n . Le formule interpolatorie sono ottenute
per interpolazione, percorrendo la stessa strada che abbiamo visto per le formule di Newton-Cotes.
Interpoliamo la funzione f mediante un polinomio di grado n, utilizzando i polinomi di Lagrange. Nel costruire
i pesi dobbiamo tenere conto anche della funzione w e quindi i pesi saranno w i = ∫ b
a L i (x)w(x) d x
dove L i (x) è l’i -simo polinomio di Lagrange.
Con questo approccio, e con nodi equidistanti, la formula di quadratura che ricaviamo ha al più grado di
precisione d = n (o d = n + 1 quando w(x) ≡ 1 e per n pari, come abbiamo visto per le formule di Newton-
Cotes).
È possibile ricavare formule di quadratura che abbiano un grado di precisione d maggiore del grado del
polinomio interpolante E se sì come
A tal fine consideriamo il polinomio dei nodi F (x) = ∏ n
i=0 (x − x i ), di grado n + 1, lo stesso che abbiamo
introdotto nel Capitolo sull’interpolazione.
Vale il seguente teorema.
Teorema 10.7.1 (di W. Gautschi) Dato un intero k con 0 < k ≤ n + 1, la formula di quadratura
∫ b
a
f (x)w(x) d x =
n∑
w i f (x i ) + E i nt (f )
i=0
ha grado di precisione (esattezza) d = n + k se e solo se sono soddisfatte entrambe le condizioni (a) e (b):
(a) la formula è interpolatoria;
(b) il polinomio dei nodi F (x) soddisfa la relazione ∫ b
a
F (x)p(x)w(x) d x = 0 per ogni polinomio p di grado
≤ k − 1.
Osserviamo che la condizione in (b):
G impone k condizioni sui nodi x 0 , x 1 , x 2 ,... x n . Se fosse k = 0 non ci sarebbero condizioni in più da
considerare e avremmo d = n (cioè esattezza d = n);
G fornisce una relazione di ortogonalità: il polinomio F è ortogonale ai polinomi di grado ≤ k −1 rispetto
alla funzione peso w. 5
Nel caso specifico, il punto (b) dice che:
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
∫ b
a
F (x)w(x) d x = 0
xF (x)w(x) d x = 0
x 2 F (x)w(x) d x = 0
.
x k−1 F (x)w(x) d x = 0
5 Per definizione, infatti, due funzioni u e v si dicono ortogonali rispetto alla funzione peso w (positiva), se ∫ b
a u(x)v(x)w(x) d x = 0.
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