Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
L’integrale può essere dunque migliorato con il valore
B m = A m + A m − A m−1
.
3
Per m = 1 si ha:
A 0 = b − a [f (a) + f (b)] è la formula dei trapezi applicata su un unico intervallo
2
A 1 = b − a
2 [ f (a)
2 + f ( a + b
2 ) + f (b) ] è la formula dei trapezi su 2 sottointervalli
2
B 1 = (b − a)[ f (a) 4f ( a + b
6 + 2 )
6
) + f (b) ] troviamo la formula di Cavalieri-Simpson!
6
Si ha dunque che B 1 (e quindi ciascun B m ) corrisponde al valore ottenuto con la formula di Cavalieri-
Simpson. L’errore ottenuto con B m è dunque proporzionale a 1/n 4 . Nel passo successivo, utilizzando i valori
B m , otteniamo la nuova approssimazione data da
C m = B m + B m − B m−1
15
per m ≥ 2
Si può dimostrare che C m coincide con la formula di Newton-Cotes con n = 4, dove l’errore è proporzionale
a 1/n 6 e alla derivata sesta di f.
La nuova approssimazione è data da:
D m = C m + C m −C m−1
63
per m ≥ 3
L’errore ora diventa proporzionale a 1/n 8 ma D m non è più un risultato delle formule di Newton-Cotes. Il
procedimento può andare avanti per calcolare E m , F m , etc tenendo presente che al denominatore dobbiamo
mettere il valore 4(d + 1) − 1 dove d è il valore del denominatore della formula precedente.
Il vantaggio dell’approssimazione di Romberg si vede solo ai primi livelli dell’applicazione (in particolare
passando da A m a B m ). Inoltre, a causa della precisione finita con cui sono eseguiti i calcoli, le formule di
Romberg di ordine elevato diventano inefficaci se il risultato iniziale A m è già abbastanza accurato rispetto
alla precisione numerica consentita.
10.7 Introduzione alle formule di quadratura di Gauss
Consideriamo di voler approssimare l’integrale dato da
∫ b
a
f (x)w(x) d x
dove [a,b] può essere finito o infinito (per esempio [−1,1], [0,+∞]). Abbiamo due funzioni, la f (x) e la w(x),
e vogliamo integrare il prodotto di queste due funzioni. La funzione w(x), che chiamiamo funzione peso, sia
positiva (w(x) ≥ 0).
Vogliamo trovare dei coefficienti w i , i = 0,...n (detti pesi della formula di quadratura) e dei nodi x i , i =
0,...n (detti nodi di quadratura) nell’intervallo [a,b] in modo da approssimare l’integrale mediante
∫ b
a
f (x)w(x) d x ≈
n∑
w i f (x i )
0=1
Considerando anche l’errore di quadratura:
156
∫ b
a
f (x)w(x) d x =
n∑
w i f (x i ) + E i nt (f )
i=0