Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.5. Estrapolazione di Richardson
10.5 Estrapolazione di Richardson
Applichiamo la formula di Cavalieri-Simpson sull’intero intervallo [a,b]. L’errore che si commette, come
sappiamo, vale
E 1 = − f IV (ξ 1 )
90
( ) b − a 5
= − f IV (ξ 1 )
(b − a)5
2 2880
Suddividiamo ora l’intervallo [a,b] in due sottointervalli e applichiamo la formula composta di Cavalieri-
Simpson. L’errore che otteniamo vale
E 2 = − f IV (ξ 2 ) (b − a) 5
2880 2 4
e, supponendo che le derivate quarte della f non siano molto diverse tra loro, si ha E 2 ≈ E 1
16 .
L’errore, quindi, diventa 16 volte più piccolo passando dalla formula di Cavalieri-Simpson in un intervallo
alla formula applicata in due sottointervalli.
Sia I il valore esatto dell’integrale e Q 1 e Q 2 i due valori approssimati ottenuti considerando la formula
di Cavalieri-Simpson con n = 1 e n = 2 sottointervalli. Sia ɛ l’errore, cambiato di segno, che si ha con n = 2,
ɛ = −E 2 ≈ −E 1 /16. Possiamo scrivere
I + ɛ = Q 2 per n = 2
I + 16ɛ = Q 1 per n = 1
Si può ricavare ɛ dalle due relazioni ottenendo
Quindi
ɛ = Q 1 −Q 2
15
I ≈ Q 2 + Q 2 −Q 1
15
Utilizzando le due approssimazioni Q 1 e Q 2 possiamo approssimare l’integrale esatto con una maggiore accuratezza
mediante la formula appena scritta. Questo procedimento prende il nome di estrapolazione di
Richardson. Può essere utilizzato per migliorare l’approssimazione di un integrale ma è basato sull’ipotesi
che le derivate quarte della funzione integranda siano circa uguali e, quindi, va usato con cautela.
10.6 Approssimazione di Romberg
Ripetendo lo stesso discorso dell’estrapolazione di Richardson a partire dalla formula dei trapezi e in
maniera sistematica, si ha l’approssimazione di Romberg.
Supponiamo l’uguaglianza delle derivate seconde della funzione integranda f e sia 2 m il numero di
sottointervalli in cui suddividiamo il dominio di integrazione [a,b].
Applicando la formula dei trapezi su 2 m−1 sottointervalli e, successivamente, su 2 m sottointervalli, l’errore
diminuisce come 1/4. Chiamando con A m e A m−1 i risultati della formula dei trapezi rispettivamente su 2 m
e su 2 m−1 sottointervalli e chiamando con ɛ l’errore cambiato di segno commesso con 2 m sottointervalli,
abbiamo:
I + ɛ = A m
I + 4ɛ = A m−1
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