Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
Esempio
Esempio 10.4.4 Consideriamo ∫ 1
0 e−x2 d x. In quanti sottointervalli bisogna suddividere l’intervallo di
integrazione per applicare la formula dei trapezi e di Cavalieri-Simpson e ottenere un errore che sia
minore di una tolleranza ɛ = 10 −5
Per i trapezi, l’errore è maggiorato da
|E tr ap | ≤ max 0≤x≤1 |f ′′ (x)| (b − a) 3
12
n 2
Per Cavalieri-Simpson si ha
|E C−S | ≤ max 0≤x≤1 |f IV (x)| (b − a) 5
2880 n 4
Da f (x) = e −x2 abbiamo, per le derivate:
f ′ (x) = −2xe −x2
f ′′ (x) = (−2 + 4x 2 )e −x2
f ′′′ (x) = (12x − 8x 3 )e −x2
f IV (x) = (12 − 48x 2 + 16x 4 )e −x2
Si trova che il massimo di |f ′′ | e |f IV | in [0,1] è dato dal loro valore in x = 0, quindi abbiamo:
|E tr ap | ≤ 2
12n 2 = 1
6n 2 |E C−S | ≤ 12
2880n 4 = 1
240n 4
La richiesta dell’accuratezza per l’errore diventa:
|E tr ap | ≤ 10 −5 |E C−S | ≤ 10 −5
vale a dire, rispettivamente,
1
6n 2 ≤ 10−5 1
240n 4 ≤ 10−5
Per i trapezi, il primo intero n che verifica la disuguaglianza è n = 130, per Cavalieri-Simpson si ha,
invece, n = 5.
Applicando le formule su 130 intervalli per i trapezi e su 5 intervalli per Cavalieri-Simpson, otteniamo i
risultati:
I tr ap = 0.74682050480289 I C−S = 0.7468249482544
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