Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.4. Formule composte
Esempio
Esempio 10.4.2 Si voglia approssimare l’integrale a
∫ 1
0
e −x2 d x ≈ 0.746824.
Suddividiamo l’intervallo [0,1] in 4 sottointervalli. Sia h = 1/4 = 0.25. Per la formula composta dei
trapezi abbiamo
I tr ap = h 2 [e0 + 2e −h2 + 2e −(2h)2 + 2e −(3h)2 + e −(4h)2 ]
= 0.125[1 + 2e −0.1252 + 2e −0.52 + 2e −0.752 + e −1 ]
= 0.742984
Applichiamo ora la formula di Cavalieri-Simpson su soli 2 sottointervalli, in modo da valutare la
funzione negli stessi punti precedenti. L’ampiezza di ciascun sottointervallo è dunque h = 0.5.
I C−S = h 6 [e0 + 4e −(h/2)2 + 2e −(h)2 + 4e −( 3 2 h)2 + e −(2h)2 ]
= 0.25
3 [1 + 4e−0.1252 + 2e −0.52 + 4e −0.752 + e −1 ]
= 0.746855
A parità di punti (e non di sottointervalli) la formula di Cavalieri-Simpson è più accurata di quella dei
trapezi.
Invece considerando 4 sottointervalli nella formula di Cavalieri-Simpson dobbiamo considerare anche
i punti interni di ascisse 0.125, 0.375, 0.625, 0.875 e il risultato che otteniamo è 0.746826, evidentemente
maggiormente accurato.
a È un integrale che non può essere risolto analiticamente.
Se si vuole calcolare una sua approssimazione senza
fare uso di formule di quadrature, possiamo, ad esempio, pensare di applicare la definizione di integrale ∫ b
a f (x)d x =
∑
lim n n→∞ f (a + i h(n)) · h(n), con h(n) = (b − a)/n, e considerare come approssimazione dell’integrale la somma parziale
∑ i=0
n
i=0 f (a + i h(n)) · h(n) con un valore di n molto grande. Per esempio, con n = 107 otteniamo il valore 0.74682420125254.
Esempio
Esempio 10.4.3 Riprendiamo l’esempio visto all’inizio del Capitolo, in cui è misurata la velocità di
un’automobile ogni 6 secondi e si vuole calcolare la lunghezza percorsa dalla macchina.
In base ai dati in possesso, possiamo applicare la formula composta dei trapezi su 14 intervalli di
ampiezza h = 6 secondi. Abbiamo (ponendo v 1 = v(0), v 2 = v(6), . . . , v 13 = v(78), v 14 = v(84)):
( v1 + v
) 14
L = 6 + v 2 + v 3 + ... + v 13 = 3009 metri
2
Possiamo anche applicare la formula di Cavalieri-Simpson, considerando ora 7 intervalli di ampiezza
pari a h = 12 secondi. In tal caso, otteniamo:
L = 2(v 1 + 4v 2 + 2v 3 + 4v 4 + 2v 5 + ... + 2v 12 + 4v 13 + v 14 ) = 3010 metri
In questo caso entrambi i risultati sono accettabili.
Se la funzione integranda ha le derivate che sono facili da determinare e da maggiorare, la formula dell’errore
può essere utile per determinare il numero di sottointervalli su cui applicare una formula composta
di quadratura in modo da ottenere un’approssimazione con un errore minore di una tolleranza prefissata.
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