Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
10.4.2 Confronti tra la formula dei trapezi e di Cavalieri-Simpson
Esempio
Esempio 10.4.1 Consideriamo f (x) = e x . Sia a = 0 e b = 1.
Allora, per l’integrale esatto e per le formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson, si ha, rispettivamente:
I =
∫ 1
0
e x d x = [ e x] 1
0 = e − 1 = 1.718281828
I tr ap = 1 (1 + e) = 1.859140914
2
I C−S = 1 6 (1 + 4e1/2 + e) = 1 (1 + 6.594885083 + 2.718281828) = 1.718861152
6
La formula di Cavalieri-Simpson dà il risultato migliore.
Sia ancora f (x) = e x ma gli estremi di integrazione siano a = 0.9 e b = 1. Allora
∫ 1
I = e x d x = e − e 0.9 = 0.2586787173
0.9
I − I tr ap = I − 0.1
2 (e0.9 + e) = −2.2 × 10 −4
I − I C−S = I − 0.1
6 (e0.9 + 4e 0.95 + e) = −9.0 × 10 −9
Ora la formula di Cavalieri-Simpson si rivela particolarmente accurata. Ciò non deve sorprendere se si
va a vedere la formula dell’errore, con l’ampiezza dell’intervallo che da 1 si è ridotta a 0.1, per cui (b−a) 5
da 1 vale ora 10 −5 .
Considerato che f ′′ = f e f IV = f , queste derivate possono essere maggiorate dal valore assunto nell’estremo
superiore dell’intervallo, cioè e. Quindi gli errori delle formule dei trapezi e di Cavalieri-Simpson
sono maggiorate da
|E tr ap | ≤ e
12 (b − a)3 = 2.265 × 10 −1 (b − a) 3
|E C−S | ≤ e
2880 (b − a)5 = 9.438 × 10 −4 (b − a) 5
Perciò per a = 0 e b = 1 gli errori sono maggiorati da
|E tr ap | = 2.265 × 10 −1
|E C−S | = 9.438 × 10 −4
Invece per a = 0.9 e b = 1, poichè b − a = 0.1 = 10 −1 , abbiamo
|E tr ap | = 2.265 × 10 −1 · 10 −3 = 2.265 × 10 −4
|E C−S | = 9.438 × 10 −4 · 10 −5 = 9.438 × 10 −9
152