Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.4. Formule composte
Possiamo vedere la formula composta di Cavalieri-Simpson anche in una forma compatta.
Considerando che, su ogni sottointervallo, dobbiamo prendere il punto medio,
facciamo una numerazione progressiva dei punti di integrazione nel modo seguente:
x 0 = a
x 2i = x 0 + i h
i = 0,...n nodi estremi dei sottointervalli
x 2i+1 = x 0 + (i + 1 2 )h
i = 0,...,n − 1 nodi centrali dei sottointervalli
∫ b
I = f (x)d x =
a
Quindi i nodi pari corrispondono agli estremi dei sottointervalli, mentre i nodi dispari
sono i punti centrali di ogni sottointervallo. Per la formula di quadratura otteniamo
n−1 ∑
i=0
i=0
∫ x2i+2
x 2i
f (x)d x
n−1 ∑ h
≈
6 [f (x 2i ) + 4f (x 2i+1 ) + f (x 2i+2 )]
= h 6 [f (x 0) + 4f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + 4f (x 3 ) + ... + 2f (x 2n−2 ) + 4f (x 2n−1 ) + f (x 2n )]
= h n−1
6 [f (x ∑
n−1 ∑
0) + 4 f (x 2i+1 ) + 2 f (x 2i ) + f (x 2n )]
i=0
Per quanto riguarda l’errore, facendo la somma degli errori di integrazione sugli n sottointervalli,
nell’ipotesi che la derivata quarta sia continua e limitata, si ha 3 :
E i nt = − 1 ( ) h 5
(f IV (ξ 1 ) + f IV (ξ 2 ) + ... + f IV (ξ n ))
90 2
= − h5 n−1 ∑
f IV (b − a)5
n−1 ∑
(ξ i ) = −
2880
2880n 5 f IV (ξ i )
i=0
i=0
i=0
Si considera quindi il punto ξ tale che 4
f IV (ξ) = 1 n
n∑
f IV (ξ i )
i=1
(b − a)5
E i nt = −
2880n 4 f IV (b − a)h4
(ξ) = − f IV (ξ)
2880
Quindi per n → ∞ l’errore tende a zero come
1 n 4 o, equivalentemente, come h4 . Nella formula dei trapezi
l’errore invece decresce come
1 . Ci aspettiamo quindi che il maggiore sforzo computazionale dia una
n2 maggiore accuratezza nei risultati quando si applica la formula di Cavalieri-Simpson rispetto alla formula dei
trapezi.
3 Ricordiamo che h = b − a
n .
4 Si ripete lo stesso ragionamento fatto sulla derivata seconda nella formula composta dei trapezi, questa volta però sulla derivata
quarta. Per esercizio, si consiglia di ripetere tutti i passaggi per arrivare al risultato.
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