Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
Quindi per n → ∞ l’errore tende a zero come h 2 o, equivalentemente, come 1 n 2 .
Formula composta di Cavalieri-Simpson
Suddividiamo l’intervallo [a,b] in n sottointervalli di ampiezza costante uguale a h e su ciascuno di questi
sottointervalli applichiamo la formula di Cavalieri-Simpson. Abbiamo, in questo modo, la formula composta
di Cavalieri-Simpson.
Su ogni intervallino, quindi, dobbiamo considerare gli estremi dell’intervallino e il punto centrale di esso.
Siano a i e b i gli estremi di ciascuna suddivisione e sia c i = a i + b i
il punto medio di ciascuna suddivisione
2
(quindi per i = 1,...,n). L’estremo superiore b i di ciascun intervallino, con i = 1,n − 1 coincide con l’estremo
inferiore dell’intervallino successivo: b i = a i+1 . In tal modo, seguendo lo stesso ragionamento fatto per i
trapezi si ha:
∫ b
a
∫ b1
∫ b2
∫ bn
f (x)d x = f (x)d x + f (x)d x + ... + f (x)d x
a 1 a 2 a n
Applicando la formula di Cavalieri-Simpson su ciascun intervallino risulta:
∫ bi
a i
In tal modo
∫ b
a
f (x)d x ≈ b i − a i
6
f (x)d x ≈
(
f (ai ) + 4f (c i ) + f (b i ) ) = h 6
n∑ h (
f (ai ) + 4f (c i ) + f (b i ) )
i=1
6
Si ha la formula composta di Cavalieri-Simpson.
(
f (ai ) + 4f (c i ) + f (b i ) )
Figura 10.4: Formula composta di Cavalieri-Simpson, utilizzando 3 sottointervalli (7 punti).
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