Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.4. Formule composte
Figura 10.3: Formula composta dei trapezi, utilizzando 3 sottointervalli (4 punti).
Ciascuno degli integrali su [x i−1 , x i ] viene approssimato utilizzando la formula dei trapezi:
n∑
i=1
∫ xi
x i−1
f (x)d x ≈
In forma estesa abbiamo
n∑
i=1
x i − x i−1
2
[f (x i−1 ) + f (x i )] =
n∑
i=1
I ≈ h 2 [f (x 0) + 2f (x 1 ) + 2f (x 2 ) + ... + 2f (x n−1 ) + f (x n )]
f (a) + f (b)
= h[ + f (x 1 ) + f (x 2 ) + ... f (x n−1 )]
2
h
2 [f (x i−1) + f (x i )]
L’errore che si commette è dato dalla somma degli errori commessi sui singoli sottointervalli
E i nt =
n∑
i=1
−f ′′ (ξ i ) h3
12
Supponendo che la derivata seconda della f sia continua e limitata in [a,b] e chiamando con m e M
rispettivamente il minimo e il massimo di f ′′ in [a,b], si ha:
m ≤ f ′′ (ξ i ) ≤ M
i = 1,...,n
Considerando la somma di queste diseguaglianze, per i = 1,...,n si ricava
∑
n∑
n
nm ≤ f ′′ i=1
(ξ i ) ≤ nM =⇒ m ≤
f ′′ (ξ i )
≤ M
i=1
n
∑ n
i=1
Per il teorema del Valor Intermedio (teorema 2.5.3),
f ′′ (ξ i )
è un valore assunto dalla funzione in
n
qualche punto u di [a,b].
Applicando la relazione h = b − a , l’errore diventa
n
n∑
E i nt = −f ′′ (ξ i ) h3
i=1
12 = −n f ′′ (ξ) h3
12 = − f ′′ (ξ)
12 (b − a)h2 = − f ′′ (ξ) (b − a) 3
12 n 2 149