Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
Gli integrali degli altri termini del polinomio p(x) portano alla formula di Cavalieri-Simpson.
(omettendo i passaggi matematici) si ha
Infatti
∫ t
−t
(
f (−t) +
f (0) − f (−t) f (−t) − f (0)
(x + t) +
t
t 2 (x + t)x +
= 2t (f (−t) + 4f (0) + f (t))
6
f (t) − f (−t)
2t 3 (x + t)x 2 )
d x =
Allora l’errore della formula di Cavalieri-Simpson coincide con l’integrale di E(x).
Quindi E i nt = ∫ t f (IV ) (ξ x )
−t
(x + t)x 2 (x − t)d x
4!
La funzione (x + t)x 2 (x − t) = (x 2 − t 2 )x 2 non cambia mai segno all’interno dell’intervallo [−t, t], quindi si
può applicare il teorema del Valore Medio del calcolo integrale, per cui
E i nt = f (IV ) (ξ)
24
∫ t
−t
(x 2 − t 2 )x 2 d x = f (IV ) [
(ξ) x
5
] t
24 5 − t 2 x3
3 −t
Considerando che l’ampiezza dell’intervallo è h = 2t si ha
E i nt = − f (IV ) (ξ)
( h 90 2 )5 = − f (IV ) (ξ)
2880 h5
Troviamo la formula dell’errore per Cavalieri-Simpson.
= − f (IV ) (ξ)
t 5
90
10.4 Formule composte
Le formule di Newton-Cotes non vanno bene su intervalli molto ampi perchè per avere risultati più accurati
dovremmo utilizzare formule di grado elevato (in modo da utilizzare un numero elevato di punti di
appoggio). Ci sono vari motivi che sconsigliano questa procedura:
G i valori dei coefficienti in formule di grado elevato sono difficili da ottenere;
G le formule di Newton-Cotes, essendo basate su polinomi di interpolazione con nodi equidistanti,
danno risultati inaccurati su intervalli ampi a causa della natura oscillatoria dei polinomi di grado
elevato.
Conviene dunque utilizzare formule di grado basso ma scomponendo l’intervallo di integrazione in più
sottointervalli e, in ciascuno di essi, applicare la stessa formula.
Sfruttiamo il fatto che se l’intervallo [a,b] viene diviso in n sottointervalli in modo che [a,b] = [a, x 1 ] ∪
[x 1 , x 2 ] ∪ [x 2 , x 3 ] ∪ ... ∪ [x n−1 ,b], allora
∫ b
a
∫ x1
∫ x2
∫ x3
∫ b
f (x)d x = f (x)d x + f (x)d x + f (x)d x + ... + f (x)d x
a
x 1 x 2 x n−1
Su ciascuno intervallo [x i−1 , x i ] per i = 1,2,...,n, approssimiamo l’integrale della f mediante una formula
di quadratura più semplice, utilizzando pochi punti.
10.4.1 Formula composta dei trapezi
Suddividiamo l’intervallo [a,b] in n sottointervalli definiti dai punti d’appoggio x 0 , x 1 ,..., x n (per semplicità
supponiamo i punti equidistanti con passo h = b − a
n , in modo che x 0 = a e x n = b, x i = x 0 + i h,
i = 0,...,n).
L’integrale su [a,b] si può dunque ottenere come somma degli integrali su tali sottointervalli:
148
∫ b
a
f (x)d x =
n∑
i=1
∫ xi
x i−1
f (x)d x