Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.3. Formule di Newton-Cotes
Quando facciamo l’integrale, l’errore nell’approssimare l’integrale esatto con la formula di Cavalieri-
Simpson è dunque dato da
∫ b
E i nt =
a
f ′′′ (ξ x )
(x − a)(x − c)(x − b)d x
3!
Questa volta, la funzione (x − a)(x − c)(x − b) cambia segno all’interno dell’intervallo [a,b] e non possiamo
più applicare il teorema del Valor Medio come nella formula dei trapezi. In maniera più laboriosa, tuttavia, si
ricava per l’errore la seguente formula:
E i nt = − f IV (u)
90
( ) b − a 5
= − f IV (u)
(b − a)5
2 2880
dove u è un opportuno punto dell’intervallo ]a,b[.
Osservando i valori dei coefficienti di Newton-Cotes per n = 1 e per n = 2 si può vedere come i coefficienti
siano simmetrici e la loro somma vale 1. Questo risultato si può generalizzare per ogni n.
10.3.2 Sull’errore della formula di Cavalieri-Simpson
Per capire l’errore che si ha nella formula di Cavalieri-Simpson, deduciamo la stessa formula seguendo
un’altra strada.
Per semplificare il discorso, scegliamo l’intervallo [a,b] simmetrico rispetto all’origine, quindi del tipo
[−t, t] con t ∈ R, sapendo che, se non fosse così, basta applicare una traslazione dell’asse x per ricondursi a
questo caso. Scriviamo il polinomio di interpolazione che passa per i punti −t, 0 e t e che interpola anche la
derivata prima della f in 0.
Mediante la tabella delle differenza divise, il punto 0 va contato due volte e si ha:
−t f (−t)
f (0) − f (−t)
0 f (0)
t
f ′ f (0) − f (−t)
(0) −
0 f (0) f ′ (0)
t
= t f ′ (0) − f (0) + f (−t)
t
t 2
f (t) − f (0)
− f
f (t) − f (0)
′ (0)
t f (t)
t
= f (t) − f (0) − t f ′ (0) f (t) − 2t f ′ (0) − f (−t)
t
t
t 2
2t 3
Il polinomio di interpolazione è, dunque
f (0) − f (−t)
p(x) = f (−t) + (x + t) + t f ′ (0) − f (0) + f (−t)
t
t 2 (x + t)x + f (t) − 2t f ′ (0) − f (−t)
2t 3 (x + t)x 2
L’errore di interpolazione per questo polinomio di grado 3 vale
E(x) = f (IV ) (ξ x )
(x + t)x 2 (x − t)
4!
Quindi da f (x) = p(x) + E(x), andando a integrare tra −t e t si ha:
∫ t
−t
−t
∫ t
∫ t
f (x)d x = p(x)d x + E(x)d x
−t
−t
Nell’integrazione del polinomio p(x) è facile vedere che i termini che dipendono da f ′ (0) portano un
contributo nullo. Infatti
∫ t
( f ′ (0)
(x + t)x − f ′ ) ∫
(0)
t
t
t 2 (x + t)x 2 f ′ )
(0)
d x =
(x 2 + t x − x3
t
t − x2 d x
−t
= f ′ (0)
t
[t x2
2 − x4
4t
] t
−t
= 0
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