Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
Figura 10.2: Formula di Cavalieri-Simpson: l’integrale della funzione f (zona tratteggiata in blu) viene
approssimata mediante l’area della regione sottesa alla parabola passante per f (a), f (c) e f (b) (zona verde).
C (2)
0
= 1 2
C (2)
1
= 1 2
C (2)
2
= 1 2
∫ 2
0
∫ 2
0
∫ 2
0
L 0 (s)d s = 1 2
L 1 (s)d s = 1 2
L 2 (s)d s = 1 2
∫ 2
0
∫ 2
0
∫ 2
0
(s − 1)(s − 2)
d s = 1 (−1)(−2) 6
(s)(s − 2)
(1)(−1) d s = 4 6
(s)(s − 1)
d s = 1 (2)(1) 6
La formula di Cavalieri-Simpson approssima l’integrale della f considerando come nodi x 0 =
a, x 1 = c = a + b e x 2 = b e come pesi i coefficienti di Cotes C (2)
0
= 1 2
6 , C (2)
1
= 4 6 , C (2)
2
= 1 6 , ottenendo:
∫ b
I =
a
f (x)d x ≈ (x 2 − x 0 )
2∑
i=0
f (x i )C (2)
i
= b − a (f (a) + 4f (c) + f (b))
6
= (b − a)( f (a)
6
4f (c)
+ + f (b)
6 6 )
Con la formula di Cavalieri-Simpson, dunque, l’integrale della f viene approssimato con l’integrale della
parabola passante per i due estremi a e b e per il punto centrale dell’intervallo.
Per quanto riguarda l’errore che si commette approssimando l’integrale della f con la formula di
Cavalieri-Simpson, consideriamo, seguendo l’approccio visto per la formula dei trapezi, l’integrale dell’errore
del polinomio di interpolazione di Lagrange.
Per il polinomio di secondo grado p 2 che interpola la f , l’errore è dato da E(x) = f ′′′ (ξ x )
(x−a)(x−c)(x−b).
3!
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