Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
Figura 10.1: Formula dei trapezi: l’integrale della funzione f (zona tratteggiata in blu) viene approssimata
mediante l’area del trapezio sotteso alla retta di interpolazione per f (a) e f (b) (zona verde).
Quindi x − x j = x 0 + sh − (x 0 + j h) = (s − j )h e x i − x j = (i − j )h, da cui il polinomio di Lagrange si può
scrivere come
L i (x) =
n∏ s − j
i − j = L i (s)
j =0
j ≠i
Da f (x) = p n (x) + E(x) dove E(x) è l’errore della formula di interpolazione, passando all’integrale,
abbiamo
∫ b
a
f (x)d x =
∫ b
a
p n (x)d x +
∫ b
a
E(x)d x
Il primo integrale a secondo membro rappresenta la formula che approssima l’integrale della f mentre il
secondo integrale rappresenta l’errore della formula di quadratura.
La formula di quadratura è quindi data dal valore dell’integrale di p n :
∫ b
∫ b n∑
n∑
I = f (x)d x ≈ f (x i )L i (x)d x = f (x i )
a
a
i=0
i=0
∫ b
a
L i (x)d x
La formula di quadratura ha dunque come nodi i punti x i e come pesi gli integrali ∫ b
a L i (x)d x.
Sia x 0 = a e x n = b, tenendo presente che L i (x) = L i (s) con x = x 0 + sh, da cui d x = hd s abbiamo
∫ b
a
∫ xn
L i (x)d x = L i (x)d x =
x 0
Allora
∫ b
n∑
I = f (x)d x ≈ h f (x i )
a
i=0
∫ n
0
∫ n
0
L i (s)hd s = h
L i (s)d s
∫ n
0
L i (s)d s
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