Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10.3. Formule di Newton-Cotes
dove ξ x è un punto dell’intervallo [a,b]. Per quanto abbiamo studiato sull’interpolazione, sappiamo che la
funzione f (x) si può scrivere come somma del polinomio e dell’errore: f (x) = p(x) + E(x). Nel nostro caso,
abbiamo
f (b) − f (a)
f (x) = f (a) + (x − a) + f ′′ (ξ x )
(x − a)(x − b)
b − a
2
Dovendo integrare la f tra a e b e valendo l’uguaglianza precedente, integrando ambo i membri,
otteniamo:
∫ b
∫ b
(
) ∫
f (b) − f (a)
b
f (x)d x = f (a) + (x − a) d x + (x − a)(x − b) f ′′ (ξ x )
d x
b − a
2
a
ovvero
∫ b
a
a
f (a) + f (b)
f (x)d x = (b − a) + 1 2 2
∫ b
a
a
(x − a)(x − b)f ′′ (ξ x ))d x
Poichè il prodotto (x −a)(x −b) ha segno costante in [a,b], per il teorema del Valor Medio del calcolo integrale
(si veda il Teorema 2.5.6) si ha
1
2
∫ b
a
(x − a)(x − b)f ′′ (ξ x ))d x = 1 2 f ′′ (ξ)
∫ b
a
(x − a)(x − b)d x = − 1 2 f ′′ (b − a)3
(ξ)
3!
dove ξ è un punto interno all’intervallo [a,b].
La quantità E i nt = − 1 2 f ′′ (b − a)3
(ξ) = − 1
3! 12 f ′′ (ξ)(b − a) 3 rappresenta l’errore che si commette approssimando
l’integrale di f in [a,b] mediante l’integrale della retta passante per f (a) e f (b), vale a dire, mediante
l’area del trapezio sottesa dalla corda passante per f (a) e f (b).
Indicando con M = max a≤x≤b |f ′′ (x)| possiamo maggiorare l’errore con la relazione
(b − a)3
|E i nt | ≤ M
12
La formula dei trapezi approssima l’integrale di f in [a,b] come I tr ap dato da
I tr ap = b − a [f (a) + f (b)]
2
10.3 Formule di Newton-Cotes
Se, al posto di una retta, prendiamo come funzione interpolante la f un polinomio di grado più elevato,
otterremo altre formule di quadrature.
Supponiamo di poter valutare la f in n + 1 punti x 0 , x 1 ,..., x n e costruiamo il polinomio interpolatore di
grado n utilizzando la formula di Lagrange.
Avremo p n (x) = ∑ n
i=0 f (x i )L i (x), dove i polinomi di Lagrange sono dati dalla nota formula
L i (x) =
n∏
j =0
j ≠i
x − x j
x i − x j
Se i nodi sono equidistanti con passo h, possiamo scrivere x j = x 0 + j h, con j = 0,1,...,n e per un generico
punto x compreso tra x 0 e x n vale x = x 0 + sh con 0 ≤ s ≤ n, s numero reale.
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