Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

10. INTEGRAZIONE NUMERICA
Sapendo che la velocità v è data da v(t) = d s (dove s rappresenta lo spostamento e t il tempo), per calcolare
la lunghezza della pista (data dallo spostamento effettuato dall’auto), dobbiamo integrare la velocità tra
d t
il tempo iniziale e quello finale.
∫ 84
0
∫ s(84)
∫
d s s(84)
v(t)d t =
s(0) d t d t = d s
s(0)
Essendo s(0) = 0 e s(84) = L la lunghezza della pista, si ha
∫ 84
0
v(t)d t =
∫ s(84)
s(0)
d s = L
Quindi, se riusciamo a risolvere l’integrale in cui la funzione integranda è la velocità, per le uguaglianze
date, sapremo dire quanto vale L, essendo
∫ 84
0
v(t)d t = L
Sfruttando i dati della velocità misurati ogni 6 secondi, dobbiamo essere in grado di poter risolvere
numericamente questo integrale.
In questo Capitolo studieremo come fare. Ci occuperemo, infatti, di approssimare l’integrale definito
∫ b
I = f (x)d x
a
dove f è una funzione definita nell’intervallo [a,b] (e f può essere nota oppure data su determinati punti
dell’intervallo, come nell’esempio appena visto).
Una formula di integrazione numerica (detta anche formula di quadratura numerica) approssima
l’integrale esatto I = ∫ b
a f (x)d x mediante ∑ n
j =0 a j f (x j ):
∫ b
I =
a
f (x)d x ≈
n∑
a j f (x j )
j =0
dove x j , j = 0,...,n sono le ascisse o punti di appoggio della formula di quadratura e a j sono i pesi della
formula.
10.2 Formula dei trapezi
Consideriamo la retta che interpola la f negli estremi dell’intervallo di integrazione.
seguiamo l’approccio di interpolazione mediante la tabella delle differenze divise:
Per semplicità,
a
b
f (a)
f (b)
f (b) − f (a)
Il polinomio di interpolazione (retta) che interpola la f in a e in b (gli estremi dell’intervallo di integrazione)
è dato da
f (b) − f (a)
p(x) = f (a) + (x − a)
b − a
b − a
L’errore di interpolazione, utilizzando l’espressione del resto di Lagrange è dato da
E(x) = f ′′ (ξ x )
(x − a)(x − b)
2
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