Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9.3. Minimi quadrati non lineari
il sistema abbia soluzione, la matrice deve essere non singolare: questa condizione è assicurata se le osservazioni
fatte sono linearmente indipendenti, cioè i punti (x i , y i ), i = 1,...,n non si trovano lungo una stessa
retta passante per il punto (x 0 , y 0 ).
Esempio
Esempio 9.3.1 In figura 9.3 sono evidenziati in blu n = 6 punti noti (che corrispondono alle coordinate
dei satelliti, anche se ora stiamo lavorando in due dimensioni). Il puntino rosso rappresenta il punto
provvisorio (x, y), grazie al quale possiamo calcolare le distanze effettive rispetto agli n punti precedenti.
Gli n punti hanno coordinate (esprimiamo tutto in metri) date, rispettivamente, da
(7,9), (2,7), (1,4), (10,15), (−5,8), (−20,−15)
Il punto (x, y) ha coordinate (4.04,4.96). Le distanze osservate dagli n punti rispetto al punto incognito
(x 0 , y 0 ) sono date dai valori
5, 2.83, 3.16, 11.66, 7.5, 9.48, 31.24
Con questi dati a disposizione, siamo in grado di calcolare le distanze δ i (x, y) e successivamente la matrice
A. Applicando il metodo ai minimi quadrati linearizzato, si ottiene come matrice A T A la matrice
data da
( )
A T 3.50953 0.89221
A =
0.89221 2.49047
Il vettore A T b ha componenti (−0.111826,0.065088) T , da cui, risolvendo il sistema, si ricava
ξ = (−0.042366,0.041313) T . Le coordinate (x 0 , y 0 ) sono dunque date da (ξ 1 + x,ξ 2 + y) cioè da
(3.997634,5.001312).
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