Appunti di Calcolo Numerico - Esercizi e Dispense - Università degli ...

9. PROBLEMI NON LINEARI IN PIÙ VARIABILI
Figura 9.3: Esempio di minimi quadrati non lineari: in blu i punti noti, il puntino in rosso è il punto
provvisorio, il puntino in nero è il punto incognito che si ricava mediante il procedimento ai minimi quadrati.
∂S(ξ)
∂ξ
= −2AT b + 2A T Aξ
Poniamo questa derivata uguale a zero
∂S(ξ)
∂ξ
= 0 ⇒ 2AT Aξ = 2A T b ⇒ A T Aξ = A T b
Per ricavare il vettore ξ che minimizza S, dobbiamo dunque risolvere questo sistema dove la matrice A T A è
una matrice 2 × 2. Dal vettore ξ possiamo ricavare i valori x 0 e y 0 (le coordinate del ricevitore GPS). Perchè
G se y = Ax si ha ∂y
∂x = A
Si prova questo risultato considerando che y i = ∑ n
j =1 a i j x j da cui ∂y i
= a i j , per i = 1,...,m e j = 1,...,n da cui otteniamo
∂x j
la matrice A.
G se α = y T Ax si ha ∂α
∂x = yT A
Infatti, se poniamo w T = y T A, w T può essere visto come una matrice di dimensione 1 × n, da cui α = w T x e, per il caso
precendente, si ha ∂α
∂x = wT = y T A.
G se α = x T Ax, con A matrice n × n, allora ∂α
∂x = xT (A + A T ) Infatti α = ∑ n ∑ n
i=1 j =1 a i j x i x j Quindi
∂α n∑
n∑
= a
∂x ki x i + a j k x j , per k = 1,2,...,n
k i=1 j =1
In forma compatta, ciò significa
∂α
∂x = xT A T + x T A = x T (A T + A)
G se A è simmetrica, la derivata di α = x T Ax diventa, di conseguenza, ∂α
∂x = 2xT A
138